Реши пж мне

Конечно, давай решим задачу 22.

Задача 22: Постройте график функции: $$ y = \begin{cases} x^2 + 6x + 9, & \text{если } x \ge -5 \ -\frac{20}{x}, & \text{если } x < -5 \end{cases} $$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

1. Анализ первой части функции ($x \ge -5$): $x^2 + 6x + 9$ можно упростить до $(x+3)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-3, 0)$. Так как $x \ge -5$, мы рассматриваем часть параболы от $x = -5$ и вправо. В точке $x = -5$, значение функции равно $(-5 + 3)^2 = (-2)^2 = 4$.

2. Анализ второй части функции ($x < -5$): $y = -\frac{20}{x}$. Это гипербола. Нас интересует поведение функции при $x < -5$. При $x = -5$, значение функции равно $-\frac{20}{-5} = 4$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$.

3. Построение графика (описание):

   • Парабола $(x+3)^2$ начинается в точке $(-5, 4)$ и идет вправо вверх.
   • Гипербола $-\frac{20}{x}$ также начинается в точке $(-5, 4)$ и идет влево, приближаясь к оси $x$ (y = 0) при $x \to -\infty$. Важно отметить, что при $x=-5$ обе части функции имеют одинаковое значение $y=4$.

4. Анализ пересечений с прямой $y = m$:

   • При $m < 0$, прямая $y = m$ не пересекает график (нет точек пересечения).
   • При $m = 0$, прямая $y = 0$ пересекает гиперболу (одну точку пересечения).
   • При $0 < m < 4$, прямая $y = m$ пересекает только параболу в двух точках.
   • При $m = 4$, прямая $y = 4$ пересекает график в одной точке (в точке соединения параболы и гиперболы).
   • При $m > 4$, прямая $y = m$ пересекает параболу в двух точках.

Ответ:

• Одна общая точка при $m = 0$ и $m = 4$.
• Две общие точки при $0 < m < 4$ и $m > 4$.