реши задания

Привет! Давай решим эти задания из билета №10.

1. Решение тригонометрического уравнения: 2cos²x - cos x - 1 = 0

• Введем замену: пусть t = cos x. Тогда уравнение примет вид: 2t² - t - 1 = 0
• Решаем квадратное уравнение относительно t: D = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9 t₁ = (1 + √9) / (2 * 2) = (1 + 3) / 4 = 1 t₂ = (1 - √9) / (2 * 2) = (1 - 3) / 4 = -1/2
• Возвращаемся к замене: cos x = 1 или cos x = -1/2
• Решаем каждое из уравнений: cos x = 1 => x = 2πn, где n - целое число cos x = -1/2 => x = ±(2π/3) + 2πk, где k - целое число

Ответ: x = 2πn, x = ±(2π/3) + 2πk, где n, k - целые числа

2. Решение показательного уравнения: (1/9)^x = 1/27

• Представим обе части уравнения как степени числа 3: (3^(-2))^x = 3^(-3) 3^(-2x) = 3^(-3)
• Приравниваем показатели: -2x = -3
• Решаем уравнение относительно x: x = (-3) / (-2) = 3/2 = 1.5

Ответ: x = 1.5

3. Нахождение полной поверхности конуса:

• Известно: высота конуса h = 8 см, объем конуса V = 24π см³.
• Формула объема конуса: V = (1/3) * π * r² * h, где r - радиус основания.
• Выразим радиус из формулы объема: 24π = (1/3) * π * r² * 8 r² = (24π * 3) / (8π) = 9 r = √9 = 3 см
• Формула образующей конуса (l) по теореме Пифагора: l² = h² + r² l² = 8² + 3² = 64 + 9 = 73 l = √73 см
• Формула площади полной поверхности конуса: S = π * r * l + π * r² S = π * 3 * √73 + π * 3² S = 3π√73 + 9π S = π(3√73 + 9) см²

Ответ: S = π(3√73 + 9) см²