Реши уравнение методом введения новой переменой

Конечно, давай решим это уравнение!

Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит так: x + x / (√(x^2 - 1)) = 35/12.

Решим это уравнение методом введения новой переменной.

1. Ограничения:

Первым делом, определим область допустимых значений (ОДЗ) для x. Так как у нас есть корень и деление, x^2 - 1 > 0, значит x > 1 или x < -1.

1. Введение новой переменной:

Пусть t = x / (√(x^2 - 1)). Тогда x + t = 35/12.

1. Выразим x через t:

Из уравнения x + t = 35/12 получим x = 35/12 - t.

1. Подставим в исходное уравнение:

Подставим x = 35/12 - t в t = x / (√(x^2 - 1)).

t = (35/12 - t) / √((35/12 - t)^2 - 1)

1. Решим уравнение относительно t:

t * √((35/12 - t)^2 - 1) = 35/12 - t

Возведем обе части в квадрат:

t^2 * ((35/12 - t)^2 - 1) = (35/12 - t)^2

t^2 * (35/12 - t)^2 - t^2 = (35/12 - t)^2

(t^2 - 1) * (35/12 - t)^2 = t^2

Извлечем квадратный корень: √((t^2 - 1) * (35/12 - t)^2) = t (t^2 - 1) * (35/12 - t) = t

Получаем (t-1)(t+1) * (35/12 - t) = t Раскрывая скобки, получим кубическое уравнение относительно t. Это сложное уравнение, и, кажется, что-то пошло не так с упрощением. Попробуем немного по-другому.

1. Альтернативный подход:

Возвращаемся к уравнению t = x / (√(x^2 - 1)). Выразим отсюда x^2.

t^2 = x^2 / (x^2 - 1)

t^2 * (x^2 - 1) = x^2

t^2 * x^2 - t^2 = x^2

x^2 * (t^2 - 1) = t^2

x^2 = t^2 / (t^2 - 1)

x = ± t / √(t^2 - 1)

1. Подставим x в x + t = 35/12:

± t / √(t^2 - 1) + t = 35/12

± t / √(t^2 - 1) = 35/12 - t

Возведем в квадрат обе части:

t^2 / (t^2 - 1) = (35/12 - t)^2

t^2 = (t^2 - 1) * (35/12 - t)^2

t^2 = (t^2 - 1) * (1225/144 - 35/6 * t + t^2)

t^2 = (1225/144) * t^2 - (35/6) * t^3 + t^4 - 1225/144 + 35/6 * t - t^2

t^4 - (35/6) * t^3 + (1225/144 - 2) * t^2 + (35/6) * t - 1225/144 = 0

t^4 - (35/6) * t^3 + (949/144) * t^2 + (35/6) * t - 1225/144 = 0

Решение этого уравнения — довольно сложная задача. Попробуем подобрать корни или упростить уравнение.

1. Подбор корней:

Заметим, что если x = 5/3, то √(x^2 - 1) = √(25/9 - 1) = √(16/9) = 4/3.

Тогда t = x / √(x^2 - 1) = (5/3) / (4/3) = 5/4.

Проверим: x + t = 5/3 + 5/4 = 20/12 + 15/12 = 35/12. Всё верно!

1. Ответ:

Итак, x = 5/3 является решением.

Ответ: x = 5/3