Найти наименьшее значение

Привет! Давай решим это задание вместе. Нам нужно найти наименьшее значение выражения: 4sin^2(x) + 12sin(x) + tg^2(y) - 6tg(y)

Сначала преобразуем выражение с синусами, выделив полный квадрат: 4sin^2(x) + 12sin(x) = 4(sin^2(x) + 3sin(x)) Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть (3/2)^2 = 9/4 внутри скобок: 4(sin^2(x) + 3sin(x) + 9/4 - 9/4) = 4((sin(x) + 3/2)^2 - 9/4) = 4(sin(x) + 3/2)^2 - 9

Теперь преобразуем выражение с тангенсами, тоже выделяя полный квадрат: tg^2(y) - 6tg(y) = tg^2(y) - 6tg(y) + 9 - 9 = (tg(y) - 3)^2 - 9

Собираем всё вместе: 4sin^2(x) + 12sin(x) + tg^2(y) - 6tg(y) = 4(sin(x) + 3/2)^2 - 9 + (tg(y) - 3)^2 - 9 = 4(sin(x) + 3/2)^2 + (tg(y) - 3)^2 - 18

Теперь нужно найти наименьшее значение этого выражения. Мы знаем, что: -1 <= sin(x) <= 1 Значит, -1 + 3/2 <= sin(x) + 3/2 <= 1 + 3/2 1/2 <= sin(x) + 3/2 <= 5/2

Тогда (sin(x) + 3/2)^2 будет наименьшим, когда sin(x) = -1, и это значение будет (1/2)^2 = 1/4.

Выражение (tg(y) - 3)^2 будет наименьшим, когда tg(y) = 3, и это значение будет 0.

Подставляем наименьшие значения в наше выражение: 4 * (1/4) + 0 - 18 = 1 - 18 = -17

Ответ: -17