реши подробно все уравнения: нужно найти первообразную

Привет! Давай решим эти задачи на нахождение первообразной.

а) f(x) = 3 / (4 - 15x)^4

1. Заметим, что это функция вида f(x) = k / (ax + b)^n, где k = 3, a = -15, b = 4, n = 4.
2. Первообразная F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ 3 / (4 - 15x)^4 dx.
3. Сделаем замену: u = 4 - 15x, тогда du = -15 dx, и dx = -du/15.
4. Тогда F(x) = ∫ 3 / u^4 * (-du/15) = -3/15 ∫ u^(-4) du = -1/5 ∫ u^(-4) du.
5. Интегрируем: -1/5 * (u^(-3) / (-3)) + C = 1/15 * u^(-3) + C = 1 / (15 * u^3) + C.
6. Возвращаемся к x: F(x) = 1 / (15 * (4 - 15x)^3) + C.

Ответ: F(x) = 1 / (15 * (4 - 15x)^3) + C

б) f(x) = 2 / cos^2(π/3 - x)

1. Вспомним, что первообразная от 1/cos^2(x) это tg(x).
2. Значит, F(x) = ∫ 2 / cos^2(π/3 - x) dx = 2 ∫ 1 / cos^2(π/3 - x) dx.
3. Сделаем замену: u = π/3 - x, тогда du = -dx, и dx = -du.
4. Тогда F(x) = 2 ∫ 1 / cos^2(u) * (-du) = -2 ∫ 1 / cos^2(u) du.
5. Интегрируем: -2 * tg(u) + C.
6. Возвращаемся к x: F(x) = -2 * tg(π/3 - x) + C.

Ответ: F(x) = -2 * tg(π/3 - x) + C

в) f(x) = 4 / (3x - 1)^2

1. Функция вида f(x) = k / (ax + b)^n, где k = 4, a = 3, b = -1, n = 2.
2. F(x) = ∫ 4 / (3x - 1)^2 dx.
3. Сделаем замену: u = 3x - 1, тогда du = 3 dx, и dx = du/3.
4. Тогда F(x) = ∫ 4 / u^2 * (du/3) = 4/3 ∫ u^(-2) du.
5. Интегрируем: 4/3 * (u^(-1) / (-1)) + C = -4/3 * u^(-1) + C = -4 / (3u) + C.
6. Возвращаемся к x: F(x) = -4 / (3 * (3x - 1)) + C.

Ответ: F(x) = -4 / (9x - 3) + C

г) f(x) = -2/x^5 + 1/cos^2(3x - 1)

1. Разобьем на два интеграла: F(x) = ∫ (-2/x^5) dx + ∫ (1/cos^2(3x - 1)) dx.
2. Первый интеграл: ∫ (-2/x^5) dx = -2 ∫ x^(-5) dx = -2 * (x^(-4) / (-4)) + C1 = 1/2 * x^(-4) + C1 = 1 / (2x^4) + C1.
3. Второй интеграл: ∫ (1/cos^2(3x - 1)) dx.
4. Сделаем замену: u = 3x - 1, тогда du = 3 dx, и dx = du/3.
5. Тогда ∫ (1/cos^2(u)) * (du/3) = 1/3 ∫ (1/cos^2(u)) du = 1/3 * tg(u) + C2.
6. Возвращаемся к x: 1/3 * tg(3x - 1) + C2.
7. Складываем оба интеграла: F(x) = 1 / (2x^4) + 1/3 * tg(3x - 1) + C, где C = C1 + C2.

Ответ: F(x) = 1 / (2x^4) + (1/3) * tg(3x - 1) + C

Надеюсь, теперь все понятно! Если что, спрашивай ещё!