Решить

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Задание: Составьте уравнение нормали к кривой x = sin^2(4t), y = cos(4t), которая параллельна прямой y = x + 16.

Решение:

1. Находим производные x'(t) и y'(t): x'(t) = d/dt (sin^2(4t)) = 2 * sin(4t) * cos(4t) * 4 = 8 * sin(4t) * cos(4t) y'(t) = d/dt (cos(4t)) = -4 * sin(4t)

2. Находим dy/dx: dy/dx = y'(t) / x'(t) = (-4 * sin(4t)) / (8 * sin(4t) * cos(4t)) = -1 / (2 * cos(4t))

3. Условие параллельности нормали прямой y = x + 16: Так как нормаль параллельна прямой y = x + 16, то её угловой коэффициент равен 1. Угловой коэффициент касательной равен dy/dx, а угловой коэффициент нормали равен -1 / (dy/dx). Значит: -1 / (dy/dx) = 1 -1 / (-1 / (2 * cos(4t))) = 1 2 * cos(4t) = 1 cos(4t) = 1/2

4. Находим значения 4t: 4t = ±π/3 + 2πk, где k - целое число t = ±π/12 + πk/2

5. Найдем координаты точки (x, y) на кривой: Рассмотрим случай t = π/12: x = sin^2(4 * π/12) = sin^2(π/3) = (√3/2)^2 = 3/4 y = cos(4 * π/12) = cos(π/3) = 1/2 Точка (3/4, 1/2)

   Теперь рассмотрим случай t = -π/12: x = sin^2(4 * (-π/12)) = sin^2(-π/3) = (-√3/2)^2 = 3/4 y = cos(4 * (-π/12)) = cos(-π/3) = 1/2 Точка (3/4, 1/2)

   Оба случая приводят к одной и той же точке.

6. Уравнение нормали: Нормаль имеет вид y = x + b. Подставим координаты точки (3/4, 1/2): 1/2 = 3/4 + b b = 1/2 - 3/4 = -1/4 Следовательно, уравнение нормали: y = x - 1/4

Ответ: Уравнение нормали к кривой, параллельной прямой y = x + 16, имеет вид: y = x - 1/4.