реши

Question

Вопрос:

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай докажем, что при любом натуральном n выражение 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n делится на 10.

Решение:

Преобразуем выражение, используя свойства степеней: 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n = 3n * 32 - 2n * 22 + 3n - 2n = 9 * 3n - 4 * 2n + 3n - 2n
Сгруппируем подобные слагаемые: 9 * 3n + 3n - 4 * 2n - 2n = 10 * 3n - 5 * 2n
Вынесем общий множитель 5 за скобки: 10 * 3n - 5 * 2n = 5 * (2 * 3n - 2n)
Теперь нужно доказать, что выражение в скобках (2 * 3n - 2n) всегда чётное. Рассмотрим два случая:
- Если n = 1, то 2 * 31 - 21 = 6 - 2 = 4 – чётное число.
- Если n > 1, то 2 * 3n всегда чётное, так как содержит множитель 2. 2n тоже всегда чётное при n > 0. Разность двух чётных чисел всегда чётная.
Так как (2 * 3n - 2n) всегда чётное, то его можно представить в виде 2*k, где k – некоторое целое число.
Подставим это в наше выражение: 5 * (2 * 3n - 2n) = 5 * (2 * k) = 10 * k
Полученное выражение 10 * k делится на 10, так как содержит множитель 10.

Ответ: Выражение 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n делится на 10 при любом натуральном n.