Сформулируй и докажи теорему о серединном перпендикуляре к отрезку

Конечно, вот формулировка и доказательство теоремы о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. И наоборот, каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство:

1. Прямое утверждение: Пусть точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Нужно доказать, что MA = MB.

   • Обозначим середину отрезка AB как точку O. Тогда серединный перпендикуляр – это прямая, проходящая через точку O перпендикулярно AB.
   • Рассмотрим треугольники MOA и MOB. У них:
     • AO = OB (так как O – середина AB)
     • ∠MOA = ∠MOB = 90° (по определению серединного перпендикуляра)
     • MO – общая сторона.
   • Следовательно, треугольники MOA и MOB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
   • Из равенства треугольников следует, что MA = MB, что и требовалось доказать.

2. Обратное утверждение: Пусть точка M равноудалена от концов отрезка AB, то есть MA = MB. Нужно доказать, что M лежит на серединном перпендикуляре к AB.

   • Соединим точку M с серединой O отрезка AB.
   • Рассмотрим треугольники MOA и MOB. У них:
     • AO = OB (так как O – середина AB)
     • MA = MB (по условию)
     • MO – общая сторона.
   • Следовательно, треугольники MOA и MOB равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
   • Из равенства треугольников следует, что ∠MOA = ∠MOB. Так как эти углы смежные и равны, то они прямые, то есть ∠MOA = ∠MOB = 90°.
   • Таким образом, прямая MO перпендикулярна AB и проходит через середину AB, то есть является серединным перпендикуляром к AB. Значит, точка M лежит на серединном перпендикуляре к AB, что и требовалось доказать.

Вывод: Теорема о серединном перпендикуляре доказана.