Реши задачу 4

Привет! Давай решим задачу 4.

Задача: Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2:7, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 112.

Решение:

1. Обозначения:

   • Пусть ABC – равнобедренный треугольник, где AB = BC.
   • Пусть точка K – точка касания вписанной окружности со стороной AB.
   • Тогда AK : KB = 2 : 7.
   • Периметр P = AB + BC + AC = 112.

2. Выразим стороны:

   • Пусть AK = 2x, тогда KB = 7x.
   • Следовательно, боковая сторона AB = AK + KB = 2x + 7x = 9x.
   • Так как AB = BC, то BC = 9x.

3. Свойство касательных:

   • Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны. Значит, если L – точка касания окружности со стороной AC, то AL = AK = 2x.
   • Так как треугольник ABC равнобедренный, то CL = CB = 7x.

4. Выразим основание AC:

   • AC = AL + LC = 2x + 7x = 9x.

5. Периметр:

   • Периметр треугольника равен AB + BC + AC = 9x + 9x + (2x + 7x) = 27x.
   • По условию, периметр равен 112, значит, 27x = 112.

6. Найдем x:

   • x = 112 / 27.

7. Найдем стороны:

   • AB = BC = 9x = 9 * (112 / 27) = (9 * 112) / 27 = 112 / 3.

   • AC = AL + LC = 2x + (9x-2x) = 9x-2x = 7x = 7 * (112/27) = (7*112)/27 = 784/27.

   • AC = 784/27 ≈ 29.04

Ответ: Боковые стороны AB и BC равны 112/3 ≈ 37.33, основание AC равно 784/27 ≈ 29.04.