ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 583

**1)** Упростим выражение $\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{6}{a^2 - 1} - \frac{a + 3}{a + 1}$: Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Общий знаменатель равен $(a - 1)(a + 1)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{(a + 1)(a + 1) + 6 - (a + 3)(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (a + 1)^2 + 6 - (a^2 - a + 3a - 3) = a^2 + 2a + 1 + 6 - (a^2 + 2a - 3) $$ $$ = a^2 + 2a + 7 - a^2 - 2a + 3 = 10 $$ Таким образом, получаем: $$ \frac{10}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{10}{a^2 - 1} $$ Найдем числовое значение при $a = -9$: $$ \frac{10}{(-9)^2 - 1} = \frac{10}{81 - 1} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8} $$ Ответ: $\frac{10}{a^2 - 1}$; при $a = -9$ значение равно $\frac{1}{8}$. --- **2)** Упростим выражение $\frac{b + 5}{b + 2} - \frac{3}{b^2 - 4} - \frac{b + 1}{b - 2}$: Разложим знаменатель $b^2 - 4 = (b - 2)(b + 2)$. Общий знаменатель равен $(b - 2)(b + 2)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{(b + 5)(b - 2) - 3 - (b + 1)(b + 2)}{(b - 2)(b + 2)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (b^2 - 2b + 5b - 10) - 3 - (b^2 + 2b + b + 2) = (b^2 + 3b - 10) - 3 - (b^2 + 3b + 2) $$ $$ = b^2 + 3b - 13 - b^2 - 3b - 2 = -15 $$ Получаем: $$ \frac{-15}{(b - 2)(b + 2)} = -\frac{15}{b^2 - 4} $$ Найдем числовое значение при $b = -8$: $$ -\frac{15}{(-8)^2 - 4} = -\frac{15}{64 - 4} = -\frac{15}{60} = -\frac{1}{4} $$ Ответ: $-\frac{15}{b^2 - 4}$; при $b = -8$ значение равно $-\frac{1}{4}$. --- **3)** Упростим выражение $\frac{a - 2}{a - 3} : \left( \frac{a^2 - 6a + 10}{a^2 - 9} + \frac{2}{a + 3} \right)$: 1) Выполним сложение в скобках. Так как $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$, общий знаменатель равен $(a - 3)(a + 3)$: $$ \frac{a^2 - 6a + 10}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{2(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a^2 - 6a + 10 + 2a - 6}{(a - 3)(a + 3)} $$ $$ = \frac{a^2 - 4a + 4}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{(a - 2)^2}{(a - 3)(a + 3)} $$ 2) Выполним деление дробей: $$ \frac{a - 2}{a - 3} : \frac{(a - 2)^2}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 2}{a - 3} \cdot \frac{(a - 3)(a + 3)}{(a - 2)^2} $$ Сократим дробь на $(a - 3)$ и $(a - 2)$: $$ = \frac{a + 3}{a - 2} $$ Найдем числовое значение при $a = -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$: $$ \frac{-\frac{3}{2} + 3}{-\frac{3}{2} - 2} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{7}{2}} = -\frac{3}{7} $$ Ответ: $\frac{a + 3}{a - 2}$; при $a = -1\frac{1}{2}$ значение равно $-\frac{3}{7}$. --- **4)** Упростим выражение $\frac{b + 1}{b - 4} : \left( \frac{b^2 + 9}{b^2 - 16} + \frac{2}{b + 4} \right)$: 1) Выполним сложение в скобках. Так как $b^2 - 16 = (b - 4)(b + 4)$, общий знаменатель равен $(b - 4)(b + 4)$: $$ \frac{b^2 + 9}{(b - 4)(b + 4)} + \frac{2(b - 4)}{(b - 4)(b + 4)} = \frac{b^2 + 9 + 2b - 8}{(b - 4)(b + 4)} $$ $$ = \frac{b^2 + 2b + 1}{(b - 4)(b + 4)} = \frac{(b + 1)^2}{(b - 4)(b + 4)} $$ 2) Выполним деление дробей: $$ \frac{b + 1}{b - 4} : \frac{(b + 1)^2}{(b - 4)(b + 4)} = \frac{b + 1}{b - 4} \cdot \frac{(b - 4)(b + 4)}{(b + 1)^2} $$ Сократим дробь на $(b - 4)$ и $(b + 1)$: $$ = \frac{b + 4}{b + 1} $$ Найдем числовое значение при $b = 4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$: $$ \frac{\frac{13}{3} + 4}{\frac{13}{3} + 1} = \frac{\frac{13 + 12}{3}}{\frac{13 + 3}{3}} = \frac{\frac{25}{3}}{\frac{16}{3}} = \frac{25}{16} = 1\frac{9}{16} $$ Ответ: $\frac{b + 4}{b + 1}$; при $b = 4\frac{1}{3}$ значение равно $1\frac{9}{16}$.