ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 549

1) $\sqrt{x-2}=4$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x - 2 = 4^2 $$ $$ x - 2 = 16 $$ $$ x = 16 + 2 $$ $$ x = 18 $$ Проверка: $\sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4$ — верно. Ответ: $x = 18$. --- 2) $\sqrt{x+3}=8$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x + 3 = 8^2 $$ $$ x + 3 = 64 $$ $$ x = 64 - 3 $$ $$ x = 61 $$ Проверка: $\sqrt{61 + 3} = \sqrt{64} = 8$ — верно. Ответ: $x = 61$. --- 3) $\sqrt{2x+1}=\sqrt{x-1}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 2x + 1 = x - 1 $$ $$ 2x - x = -1 - 1 $$ $$ x = -2 $$ Проверка: При $x = -2$ подкоренные выражения принимают значения: $2 \cdot (-2) + 1 = -3 < 0$, $-2 - 1 = -3 < 0$. Арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует, следовательно, $x = -2$ — посторонний корень. Ответ: корней нет. --- 4) $\sqrt[4]{x^2+12}=x$ Так как корень четной степени принимает только неотрицательные значения, правая часть уравнения должна удовлетворять условию $x \ge 0$. Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $$ x^2 + 12 = x^4 $$ $$ x^4 - x^2 - 12 = 0 $$ Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - t - 12 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$ — не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Возвращаемся к замене: $$ x^2 = 4 $$ $$ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 $$ С учетом условия $x \ge 0$ корень $x = -2$ является посторонним. Проверка: При $x = 2$: $\sqrt[4]{2^2 + 12} = \sqrt[4]{4 + 12} = \sqrt[4]{16} = 2$ — верно. Ответ: $x = 2$. --- 5) $\sqrt[3]{6x-x^2}=x$ Возведем обе части уравнения в куб: $$ 6x - x^2 = x^3 $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ x^3 + x^2 - 6x = 0 $$ Разложим левую часть на множители: $$ x(x^2 + x - 6) = 0 $$ Отсюда $x = 0$ или $x^2 + x - 6 = 0$. Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$ по теореме Виета: $$ x_1 + x_2 = -1, \quad x_1 \cdot x_2 = -6 $$ $$ x = -3 \quad \text{или} \quad x = 2 $$ Получили три возможных значения: $x = -3$, $x = 0$, $x = 2$. Проверка: 1) При $x = -3$: $\sqrt[3]{6 \cdot (-3) - (-3)^2} = \sqrt[3]{-18 - 9} = \sqrt[3]{-27} = -3$ — верно. 2) При $x = 0$: $\sqrt[3]{6 \cdot 0 - 0^2} = \sqrt[3]{0} = 0$ — верно. 3) При $x = 2$: $\sqrt[3]{6 \cdot 2 - 2^2} = \sqrt[3]{12 - 4} = \sqrt[3]{8} = 2$ — верно. Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$. --- 6) $\sqrt{3-x}=\sqrt{1+3x}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 3 - x = 1 + 3x $$ $$ -x - 3x = 1 - 3 $$ $$ -4x = -2 $$ $$ x = \frac{-2}{-4} $$ $$ x = 0{,}5 $$ Проверка: При $x = 0{,}5$: $\sqrt{3 - 0{,}5} = \sqrt{2{,}5}$, $\sqrt{1 + 3 \cdot 0{,}5} = \sqrt{1 + 1{,}5} = \sqrt{2{,}5}$. $\sqrt{2{,}5} = \sqrt{2{,}5}$ — верно. Ответ: $x = 0{,}5$.