ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 129

1) Запишем исходное выражение (в соответствии с учебником первое слагаемое имеет вид $2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}$): $$ \left( 2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \right) \cdot \sqrt[3]{6} $$ Представим корень в виде степени с дробным показателем и разложим подкоренное число на простые множители: $$ \sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}} = (2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} $$ Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое на $2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}$: $$ \left( 2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} \right) \cdot \left( 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \right) - \left( 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \right) \cdot \left( 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \right) $$ При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $$ = 2^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 3^0 - 3^{\frac{6}{3}} \cdot 2^0 $$ Учитывая, что $\frac{6}{3} = 2$, а любое ненулевое число в нулевой степени равно $1$ ($a^0 = 1$): $$ = 2^2 \cdot 1 - 3^2 \cdot 1 = 4 - 9 = -5 $$ Ответ: $-5$. --- 2) Запишем выражение: $$ \left( 5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}} \right) \sqrt[4]{1000} $$ Представим деление в скобках в виде обыкновенных дробей: $$ 5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} = \frac{5^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}, \quad 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}} = \frac{2^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}} $$ Преобразуем множитель $\sqrt[4]{1000}$, разложив число $1000$ на множители: $$ \sqrt[4]{1000} = 1000^{\frac{1}{4}} = (10^3)^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{4}} = (2 \cdot 5)^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} $$ Раскроем скобки, умножив каждую дробь на $2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$: $$ \frac{5^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}} \cdot \left(2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}\right) - \frac{2^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}} \cdot \left(2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}\right) $$ Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $$ = 5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 5^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 5^{\frac{4}{4}} - 2^{\frac{4}{4}} = 5^1 - 2^1 = 5 - 2 = 3 $$ Ответ: $3$. --- 3) Запишем выражение (в соответствии с учебником показатель степени имеет вид $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$): $$ (2^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} + (3^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1} $$ Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для первого слагаемого: $$ (2^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 2^2 = 4 $$ Для второго слагаемого применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ (3^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1} = 3^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = 3^{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = 3^{3 - 1} = 3^2 = 9 $$ Сложим полученные значения: $$ 4 + 9 = 13 $$ Ответ: $13$. --- 4) Запишем выражение: $$ \left( (0,5)^{\frac{3}{5}} \right)^{-5} - (4^{-0,3})^{-\frac{5}{3}} $$ Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому слагаемому отдельно. Для первого слагаемого: $$ \left( (0,5)^{\frac{3}{5}} \right)^{-5} = (0,5)^{\frac{3}{5} \cdot (-5)} = (0,5)^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 $$ Для второго слагаемого представим десятичную дробь в виде обыкновенной ($-0,3 = -\frac{3}{10}$): $$ (4^{-0,3})^{-\frac{5}{3}} = 4^{\left(-\frac{3}{10}\right) \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)} = 4^{\frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 3}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 $$ Выполним вычитание: $$ 8 - 2 = 6 $$ Ответ: $6$.