ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 110

1) По свойствам корня $n$-й степени объединим множители под один знак кубического корня: $$ \frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}} = \sqrt[3]{\frac{49 \cdot 112}{250}} $$ Сократим дробь под корнем на $2$ и разложим числа на простые множители: $$ \sqrt[3]{\frac{49 \cdot 56}{125}} = \sqrt[3]{\frac{7^2 \cdot (7 \cdot 8)}{125}} = \sqrt[3]{\frac{7^3 \cdot 2^3}{5^3}} = \frac{7 \cdot 2}{5} = \frac{14}{5} = 2,8 $$ Ответ: $2,8$. --- 2) Объединим корни четвёртой степени под один общий корень: $$ \frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{5}} = \sqrt[4]{54 \cdot 24} $$ Разложим подкоренное выражение на множители: $$ 54 \cdot 24 = (27 \cdot 2) \cdot (8 \cdot 3) = (3^3 \cdot 2) \cdot (2^3 \cdot 3) = 3^4 \cdot 2^4 = (3 \cdot 2)^4 = 6^4 $$ Вычислим значение корня: $$ \sqrt[4]{6^4} = 6 $$ Ответ: $6$. --- 3) Вычислим значение каждого слагаемого отдельно: 1. $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\frac{32}{2}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$; 2. $\sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^6} = 3$; 3. $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$. Подставим полученные значения в исходное выражение: $$ \frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt[3]{64} = 2 + 3 - 4 = 1 $$ *(Примечание: если в условии третье слагаемое записано как корень из корня $\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2$, то значение выражения равно $2 + 3 - 2 = 3$.)* Ответ: $1$ (или $3$, если третье слагаемое $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$). --- 4) Вычислим каждое слагаемое: 1. Переведём смешанную дробь в неправильную: $$ \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2} = 1,5 $$ 2. Применим свойство произведения корней четвёртой степени: $$ \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{18 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3} $$ 3. Применим свойство корня из корня: $$ \sqrt{\sqrt{256}} = \sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4^4} = 4 $$ Сложим полученные результаты: $$ 1,5 + \sqrt{3} - 4 = \sqrt{3} - 2,5 $$ *(Примечание: если под вторым корнем стоит смешанное число $4\frac{1}{2}$, как в печатном учебнике, то $\sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{18 \cdot \frac{9}{2}} = \sqrt[4]{81} = 3$, и значение выражения равно $1,5 + 3 - 4 = 0,5$.)* Ответ: $\sqrt{3} - 2,5$ (или $0,5$, если под корнем $4\frac{1}{2}$). --- 5) Внесём сомножители под общий кубический корень и применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ \sqrt[3]{11 - \sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{11 + \sqrt{57}} = \sqrt[3]{(11 - \sqrt{57})(11 + \sqrt{57})} $$ $$ \sqrt[3]{11^2 - (\sqrt{57})^2} = \sqrt[3]{121 - 57} = \sqrt[3]{64} = 4 $$ Ответ: $4$. --- 6) Внесём сомножители под общий корень четвёртой степени и применим формулу разности квадратов: $$ \sqrt[4]{17 - \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}} = \sqrt[4]{(17 - \sqrt{33})(17 + \sqrt{33})} $$ $$ \sqrt[4]{17^2 - (\sqrt{33})^2} = \sqrt[4]{289 - 33} = \sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4^4} = 4 $$ Ответ: $4$.