ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 862

Преобразуем выражение $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$, сгруппировав слагаемые: $$ n^3 + 3n^2 + 5n + 3 = (n^3 + 3n^2 + 2n) + (3n + 3) $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ n(n^2 + 3n + 2) + 3(n + 1) $$ Разложим квадратный трехчлен $n^2 + 3n + 2$ на множители: $n^2 + 3n + 2 = n^2 + n + 2n + 2 = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2)$. Тогда исходное выражение принимает вид: $$ n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1) $$ Исследуем делимость каждого слагаемого полученной суммы на 3: 1. Первое слагаемое $n(n + 1)(n + 2)$ представляет собой произведение трёх последовательных натуральных чисел. Из трёх последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3, следовательно, всё произведение $n(n + 1)(n + 2)$ делится на 3. 2. Второе слагаемое $3(n + 1)$ содержит числовой множитель 3, значит, оно также делится на 3 при любом натуральном $n$. Так как каждое из слагаемых делится на 3, то и вся сумма $n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1)$ делится на 3. Следовательно, значение выражения $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.