ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 744

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула: $$ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) $$ где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. 1) $x^2 - 12x + 35$ Приравняем трёхчлен к нулю: $x^2 - 12x + 35 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 12$, $x_1 \cdot x_2 = 35$. Отсюда $x_1 = 5$, $x_2 = 7$. Получаем: $$ x^2 - 12x + 35 = (x - 5)(x - 7) $$ 2) $x^2 - 5x - 36$ Приравняем трёхчлен к нулю: $x^2 - 5x - 36 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = -36$. Отсюда $x_1 = 9$, $x_2 = -4$. Получаем: $$ x^2 - 5x - 36 = (x - 9)(x + 4) $$ 3) $2x^2 + x - 3$ Решим уравнение $2x^2 + x - 3 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1{,}5 $$ Разложим на множители: $$ 2x^2 + x - 3 = 2(x - 1)\left(x + \frac{3}{2}\right) = (x - 1)(2x + 3) $$ 4) $2x^2 - 3x - 5$ Решим уравнение $2x^2 - 3x - 5 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $$ Разложим на множители: $$ 2x^2 - 3x - 5 = 2(x + 1)\left(x - \frac{5}{2}\right) = (x + 1)(2x - 5) $$ 5) $-5x^2 + 11x - 2$ Решим уравнение $-5x^2 + 11x - 2 = 0$: $$ D = 11^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-2) = 121 - 40 = 81 = 9^2 $$ $$ x_1 = \frac{-11 + 9}{2 \cdot (-5)} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5} = 0{,}2 $$ $$ x_2 = \frac{-11 - 9}{2 \cdot (-5)} = \frac{-20}{-10} = 2 $$ Разложим на множители: $$ -5x^2 + 11x - 2 = -5\left(x - \frac{1}{5}\right)(x - 2) = -(5x - 1)(x - 2) = (1 - 5x)(x - 2) $$ 6) $-4x^2 - 10x + 6$ Решим уравнение $-4x^2 - 10x + 6 = 0$: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 6 = 100 + 96 = 196 = 14^2 $$ $$ x_1 = \frac{10 + 14}{2 \cdot (-4)} = \frac{24}{-8} = -3 $$ $$ x_2 = \frac{10 - 14}{2 \cdot (-4)} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ Разложим на множители: $$ -4x^2 - 10x + 6 = -4(x + 3)\left(x - \frac{1}{2}\right) = -2(x + 3)(2x - 1) $$ 7) $-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27$ Решим уравнение $-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-3$: $$ x^2 - 24x - 81 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 24$, $x_1 \cdot x_2 = -81$. Отсюда $x_1 = 27$, $x_2 = -3$. Разложим на множители: $$ -\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27 = -\frac{1}{3}(x - 27)(x + 3) $$ 8) $\frac{1}{5}x^2 + x - 10$ Решим уравнение $\frac{1}{5}x^2 + x - 10 = 0$. Умножим обе части уравнения на $5$: $$ x^2 + 5x - 50 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -5$, $x_1 \cdot x_2 = -50$. Отсюда $x_1 = -10$, $x_2 = 5$. Разложим на множители: $$ \frac{1}{5}x^2 + x - 10 = \frac{1}{5}(x + 10)(x - 5) $$