ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 545

**1)** $$ \begin{cases} x + y = 1, \\ xy = -6 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения: $$ y = 1 - x $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ x(1 - x) = -6 $$ $$ x - x^2 = -6 $$ $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2 $$ Найдем соответствующие значения $y$: при $x_1 = 3$: $y_1 = 1 - 3 = -2$; при $x_2 = -2$: $y_2 = 1 - (-2) = 3$. Ответ: $(3; -2)$, $(-2; 3)$. --- **2)** $$ \begin{cases} x + 3y = 10, \\ xy = 3 \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $$ x = 10 - 3y $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ (10 - 3y)y = 3 $$ $$ 10y - 3y^2 = 3 $$ $$ 3y^2 - 10y + 3 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $$ $$ y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $$ $$ y_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Найдем соответствующие значения $x$: при $y_1 = 3$: $x_1 = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1$; при $y_2 = \frac{1}{3}$: $x_2 = 10 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 10 - 1 = 9$. Ответ: $(1; 3)$, $\left(9; \frac{1}{3}\right)$. --- **3)** $$ \begin{cases} x - 2y = -7, \\ xy = -6 \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $$ x = 2y - 7 $$ Подставим во второе уравнение: $$ (2y - 7)y = -6 $$ $$ 2y^2 - 7y + 6 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1 $$ $$ y_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2 $$ $$ y_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5 $$ Найдем соответствующие значения $x$: при $y_1 = 2$: $x_1 = 2 \cdot 2 - 7 = 4 - 7 = -3$; при $y_2 = 1{,}5$: $x_2 = 2 \cdot 1{,}5 - 7 = 3 - 7 = -4$. Ответ: $(-3; 2)$, $(-4; 1{,}5)$. --- **4)** $$ \begin{cases} x + y = -7, \\ xy = 12 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения: $$ y = -7 - x $$ Подставим во второе уравнение: $$ x(-7 - x) = 12 $$ $$ -7x - x^2 = 12 $$ $$ x^2 + 7x + 12 = 0 $$ По теореме, обратной теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -7, \\ x_1 x_2 = 12 \end{cases} \implies x_1 = -3, \quad x_2 = -4 $$ Найдем соответствующие значения $y$: при $x_1 = -3$: $y_1 = -7 - (-3) = -4$; при $x_2 = -4$: $y_2 = -7 - (-4) = -3$. Ответ: $(-3; -4)$, $(-4; -3)$. --- **5)** $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 200, \\ x + y = 20 \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = 200 $$ Так как из второго уравнения $x + y = 20$, подставим это значение в первое уравнение: $$ (x - y) \cdot 20 = 200 \implies x - y = 10 $$ Получаем систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 10, \\ x + y = 20 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$ (x - y) + (x + y) = 10 + 20 $$ $$ 2x = 30 \implies x = 15 $$ Подставим значение $x = 15$ во второе уравнение: $$ 15 + y = 20 \implies y = 5 $$ Ответ: $(15; 5)$. --- **6)** $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 9, \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Разложим первое уравнение на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = 9 $$ Подставим $x - y = 1$ в полученное произведение: $$ 1 \cdot (x + y) = 9 \implies x + y = 9 $$ Запишем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 9, \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Сложим оба уравнения: $$ 2x = 10 \implies x = 5 $$ Найдем $y$, вычтя второе уравнение из первого: $$ 2y = 8 \implies y = 4 $$ Ответ: $(5; 4)$. --- **7)** $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41, \\ y - x = 1 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения: $$ y = x + 1 $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 + (x + 1)^2 = 41 $$ $$ x^2 + x^2 + 2x + 1 = 41 $$ $$ 2x^2 + 2x - 40 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x^2 + x - 20 = 0 $$ По теореме, обратной теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1, \\ x_1 x_2 = -20 \end{cases} \implies x_1 = 4, \quad x_2 = -5 $$ Найдем соответствующие значения $y$: при $x_1 = 4$: $y_1 = 4 + 1 = 5$; при $x_2 = -5$: $y_2 = -5 + 1 = -4$. Ответ: $(4; 5)$, $(-5; -4)$. --- **8)** $$ \begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $$ x = y + 3 $$ Подставим выражение во второе уравнение: $$ (y + 3)^2 + y^2 = 5 $$ $$ y^2 + 6y + 9 + y^2 = 5 $$ $$ 2y^2 + 6y + 4 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ y^2 + 3y + 2 = 0 $$ По теореме, обратной теореме Виета: $$ \begin{cases} y_1 + y_2 = -3, \\ y_1 y_2 = 2 \end{cases} \implies y_1 = -1, \quad y_2 = -2 $$ Найдем соответствующие значения $x$: при $y_1 = -1$: $x_1 = -1 + 3 = 2$; при $y_2 = -2$: $x_2 = -2 + 3 = 1$. Ответ: $(2; -1)$, $(1; -2)$.