ГДЗ по Геометрия за 7-9 классы Атанасян, Бутузов, Кадомцев ответ на задачу 741

### Ответ Утверждение доказано: любая прямая, проходящая через точку $A$, расстояние от которой до центра окружности меньше радиуса, находится от центра на расстоянии, меньшем радиуса ($d < r$), а значит, пересекает окружность в двух точках и является секущей. --- ### Доказательство **Дано:** * Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$; * Точка $A$, такая что $OA < r$ (точка лежит внутри окружности); * $p$ — произвольная прямая, проходящая через точку $A$. **Доказать:** Прямая $p$ — секущая по отношению к данной окружности. --- #### Шаги доказательства: 1. **Вспомним признак секущей:** Прямая является секущей по отношению к окружности, если расстояние $d$ от центра окружности до этой прямой строго меньше радиуса окружности ($d < r$). В этом случае прямая и окружность имеют ровно две общие точки. 2. **Определим расстояние от центра $O$ до прямой $p$:** Расстоянием от точки $O$ до прямой $p$ называется длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на эту прямую ($OH \perp p$, где $H \in p$). Таким образом, $d = OH$. 3. **Сравним отрезки $OH$ и $OA$:** * **Случай 1:** Прямая $p$ проходит через центр $O$ (то есть $O \in p$). Тогда расстояние от центра до прямой равно нулю: $d = 0$. Так как радиус $r > 0$, получаем $d < r$. * **Случай 2:** Прямая $p$ не проходит через центр $O$, и основание перпендикуляра $H$ совпадает с точкой $A$ ($OA \perp p$). В этом случае $OH = OA$. * **Случай 3:** Основание перпендикуляра $H$ не совпадает с точкой $A$. Тогда точки $O$, $H$ и $A$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle OHA$ с прямым углом $\angle OHA = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет всегда меньше гипотенузы, следовательно: $$OH < OA$$ Объединяя все случаи, получаем, что расстояние от центра $O$ до прямой $p$ не превосходит длины отрезка $OA$: $$OH \le OA$$ 4. **Сравним расстояние $OH$ с радиусом $r$:** По условию задачи расстояние от точки $A$ до центра меньше радиуса, то есть: $$OA < r$$ Следовательно: $$OH \le OA < r \implies OH < r$$ 5. **Вывод:** Расстояние от центра окружности до произвольной прямой $p$, проходящей через точку $A$, меньше радиуса ($d < r$). По теореме о взаимном расположении прямой и окружности такая прямая пересекает окружность в двух точках, то есть является **секущей**. *Что и требовалось доказать.*