ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 986

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = a, \\ x - 3y = b \end{cases} $$ Решим систему методом сложения (вычитания). Вычтем из первого уравнения второе: $$ (x + y) - (x - 3y) = a - b $$ $$ 4y = a - b $$ $$ y = \frac{a - b}{4} $$ Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы: $$ x + \frac{a - b}{4} = a $$ $$ x = a - \frac{a - b}{4} = \frac{4a - (a - b)}{4} = \frac{3a + b}{4} $$ Данное решение единственно при любых значениях $a$ и $b$. Ответ: при любых $a$ и $b$ единственное решение $\left( \frac{3a + b}{4}; \, \frac{a - b}{4} \right)$. --- б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = a, \\ \frac{x}{b} + \frac{y}{c} = d \end{cases} $$ Так как переменные $b$ и $c$ находятся в знаменателях дробей, система имеет смысл только при $b \neq 0$ и $c \neq 0$. Умножим обе части второго уравнения на $bc \neq 0$: $$ cx + by = bcd $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = a - y$, и подставим его во второе уравнение: $$ c(a - y) + by = bcd $$ $$ ac - cy + by = bcd $$ $$ (b - c)y = bcd - ac $$ $$ (b - c)y = c(bd - a) $$ Исследуем полученное уравнение в зависимости от коэффициента при $y$: 1. Если $b - c \neq 0$, то есть $b \neq c$: $$ y = \frac{bcd - ac}{b - c} $$ Тогда находим $x$: $$ x = a - y = a - \frac{bcd - ac}{b - c} = \frac{a(b - c) - (bcd - ac)}{b - c} = \frac{ab - ac - bcd + ac}{b - c} = \frac{ab - bcd}{b - c} = \frac{b(a - cd)}{b - c} $$ 2. Если $b - c = 0$, то есть $b = c$: Уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot y = c(bd - a) $$ — если $bd - a \neq 0$ (то есть $a \neq bd$), то уравнение не имеет корней, а значит, система не имеет решений; — если $bd - a = 0$ (то есть $a = bd$), то уравнение принимает вид $0 \cdot y = 0$, что верно для любого $y$. В этом случае система имеет бесконечно много решений вида $(a - y; \, y)$, где $y$ — любое число. Ответ: при $b = 0$ или $c = 0$ система не имеет смысла; при $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $b \neq c$ единственное решение $\left( \frac{b(a - cd)}{b - c}; \, \frac{c(bd - a)}{b - c} \right)$; при $b \neq 0$, $c \neq 0$, $b = c$ и $a \neq bd$ решений нет; при $b \neq 0$, $c \neq 0$, $b = c$ и $a = bd$ бесконечно много решений вида $(a - y; \, y)$, где $y \in \mathbb{R}$. --- в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = a, \\ \frac{x}{b} - \frac{y}{c} = d \end{cases} $$ Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, поэтому $b \neq 0$ и $c \neq 0$. Умножим второе уравнение на $bc \neq 0$: $$ cx - by = bcd $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = a - y$, и подставим во второе: $$ c(a - y) - by = bcd $$ $$ ac - cy - by = bcd $$ $$ -(b + c)y = bcd - ac $$ $$ (b + c)y = ac - bcd $$ $$ (b + c)y = c(a - bd) $$ Исследуем полученное уравнение: 1. Если $b + c \neq 0$, то есть $b \neq -c$: $$ y = \frac{ac - bcd}{b + c} $$ Тогда находим $x$: $$ x = a - y = a - \frac{ac - bcd}{b + c} = \frac{a(b + c) - (ac - bcd)}{b + c} = \frac{ab + ac - ac + bcd}{b + c} = \frac{ab + bcd}{b + c} = \frac{b(a + cd)}{b + c} $$ 2. Если $b + c = 0$, то есть $b = -c$: Уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot y = c(a - bd) $$ — если $a - bd \neq 0$ (то есть $a \neq bd$), то решений нет; — если $a - bd = 0$ (то есть $a = bd$), то уравнение принимает вид $0 \cdot y = 0$, корнем которого является любое число $y$. Система имеет бесконечно много решений вида $(a - y; \, y)$, где $y$ — любое число. Ответ: при $b = 0$ или $c = 0$ система не имеет смысла; при $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $b \neq -c$ единственное решение $\left( \frac{b(a + cd)}{b + c}; \, \frac{c(a - bd)}{b + c} \right)$; при $b \neq 0$, $c \neq 0$, $b = -c$ и $a \neq bd$ решений нет; при $b \neq 0$, $c \neq 0$, $b = -c$ и $a = bd$ бесконечно много решений вида $(a - y; \, y)$, где $y \in \mathbb{R}$.