ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 777

а) **Сообщение о Л. Ф. Магницком и его «Арифметике»** Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739) — выдающийся русский математик, педагог и просветитель эпохи Петра I. Родился в семье крестьянина Филиппа Телятина в Осташковской слободе. С ранних лет проявлял исключительные способности к учению, самостоятельно выучился грамоте и чтению. Обучался в Славяно-греко-латинской академии в Москве, самостоятельно изучил математические науки, а также греческий, латинский, немецкий и голландский языки. По преданию, царь Пётр I, поражённый его глубокими познаниями и способностью притягивать к себе людей знаниями, нарёк его фамилией Магницкий (от слова «магнит»). С 1701 года и до конца жизни Леонтий Филиппович преподавал математику в первом русском светском учебном заведении — Школе математических и навигацких наук в Москве. В 1703 году вышел главный труд Магницкого — фундаментальный учебник «Арифметика, сиречь наука числительная...». Это была первая в России печатная книга по математике на русском языке. Она представляла собой настоящую энциклопедию математических и прикладных знаний того времени: - в ней излагались правила выполнения арифметических действий с целыми числами и дробями, таблица умножения, денежный счёт, меры и веса; - рассматривались основы алгебры, геометрии, тригонометрии, астрономии, геодезии и навигации; - материал сопровождался множеством практических и занимательных задач, стихами автора и методическими пояснениями. По «Арифметике» Магницкого учились несколько поколений русских учёных, мореплавателей и инженеров. Великий русский учёный М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого и «Грамматику» Смотрицкого «вратами своей учёности». --- б) **Способы решения линейных диофантовых уравнений** Линейным диофантовым уравнением с двумя переменными называют уравнение вида: $$ ax + by = c $$ где коэффициенты $a$, $b$, $c$ — целые числа ($a \neq 0$, $b \neq 0$), а решения $(x; y)$ ищутся только во множестве целых чисел ($\mathbb{Z}$). **Критерий разрешимости:** Уравнение $ax + by = c$ имеет целочисленные решения тогда и только тогда, когда свободный член $c$ делится нацело на наибольший общий делитель коэффициентов при переменных: $$ c \ \vdots \ d, \quad \text{где } d = \text{НОД}(a, b) $$ Если $c$ не делится на $d$, то уравнение целых решений не имеет. Если обе части уравнения разделить на $d$, получится равносильное уравнение с взаимно простыми коэффициентами при $x$ и $y$. Если найдено хотя бы одно целое (частное) решение $(x_0; y_0)$ уравнения с взаимно простыми $a$ и $b$, то все его целые решения задаются формулами: $$ \begin{cases} x = x_0 + b \cdot t, \\ y = y_0 - a \cdot t, \end{cases} $$ где $t \in \mathbb{Z}$ — любое целое число. **Основные способы нахождения частного решения:** 1. **Метод непосредственного подбора:** При небольших коэффициентах частное решение можно подобрать устно. *Например:* для уравнения $2x + 3y = 7$ легко заметить, что подходит пара $x_0 = 2$, $y_0 = 1$, так как: $$ 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7 $$ 2. **Метод выражения переменной и выделения целой части:** Одну переменную выражают через другую (обычно ту, у которой коэффициент по модулю меньше), делят числитель на знаменатель с остатком и требуют, чтобы остаточная дробь принимала целые значения. *Например:* в уравнении $3x + 5y = 11$ выразим $x$: $$ x = \frac{11 - 5y}{3} = \frac{12 - 1 - 3y - 2y}{3} = 4 - y - \frac{2y + 1}{3} $$ Чтобы $x$ был целым, дробь $\frac{2y + 1}{3}$ должна быть целым числом $k \in \mathbb{Z}$. Положив $k = 1$, получим $2y + 1 = 3$, откуда $y_0 = 1$. Тогда $x_0 = \frac{11 - 5 \cdot 1}{3} = 2$. 3. **Расширенный алгоритм Евклида:** Применяется для уравнений с большими коэффициентами. С помощью последовательного деления с остатком находят $\text{НОД}(a, b)$, а затем, двигаясь по равенствам в обратном порядке, представляют $\text{НОД}(a, b)$ в виде линейной комбинации чисел $a$ и $b$: $$ a \cdot u + b \cdot v = 1 $$ Умножая полученное равенство на $c$, находят частное решение: $x_0 = u \cdot c$, $y_0 = v \cdot c$.