ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 763

а) $3x + 5y = 10$ Найдем одно частное целочисленное решение уравнения. Подбором находим: при $x = 0$ получаем $5y = 10$, откуда $y = 2$. Значит, пара чисел $(0; 2)$ является решением: $$ 3 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 10 $$ Вычтем это равенство из исходного уравнения: $$ 3(x - 0) + 5(y - 2) = 0 $$ $$ 3x = -5(y - 2) $$ $$ 3x = 5(2 - y) $$ Числа $3$ и $5$ взаимно простые ($\operatorname{НОД}(3, 5) = 1$), поэтому левая часть делится на $5$, а значит, $x$ кратно $5$. Положим $x = 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставим $x = 5k$ в равенство: $$ 3 \cdot 5k = 5(2 - y) $$ $$ 3k = 2 - y \implies y = 2 - 3k $$ Ответ: $x = 5k$, $y = 2 - 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$. --- б) $2x - 5y = 15$ Найдем частное целочисленное решение. При $x = 0$ получаем $-5y = 15$, откуда $y = -3$. Пара $(0; -3)$ является решением: $$ 2 \cdot 0 - 5 \cdot (-3) = 15 $$ Вычтем это равенство из исходного уравнения: $$ 2(x - 0) - 5(y - (-3)) = 0 $$ $$ 2x = 5(y + 3) $$ Так как $\operatorname{НОД}(2, 5) = 1$, число $x$ должно делиться на $5$. Пусть $x = 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда: $$ 2 \cdot 5k = 5(y + 3) $$ $$ 2k = y + 3 \implies y = 2k - 3 $$ Ответ: $x = 5k$, $y = 2k - 3$, где $k \in \mathbb{Z}$. --- в) $2x + 3y = 5$ Найдем частное целочисленное решение. При $x = 1$ получаем $2 \cdot 1 + 3y = 5$, откуда $3y = 3$, то есть $y = 1$. Пара $(1; 1)$ — решение: $$ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5 $$ Вычтем равенство из исходного уравнения: $$ 2(x - 1) + 3(y - 1) = 0 $$ $$ 2(x - 1) = 3(1 - y) $$ Так как $\operatorname{НОД}(2, 3) = 1$, разность $x - 1$ делится на $3$. Положим $x - 1 = 3k$, откуда $x = 1 + 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставим в равенство: $$ 2 \cdot 3k = 3(1 - y) $$ $$ 2k = 1 - y \implies y = 1 - 2k $$ Ответ: $x = 1 + 3k$, $y = 1 - 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. --- г) $7x - 5y = 2$ Найдем частное целочисленное решение. При $x = 1$ получаем $7 \cdot 1 - 5y = 2$, откуда $5y = 5$, то есть $y = 1$. Пара $(1; 1)$ — решение: $$ 7 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = 2 $$ Вычтем равенство из исходного уравнения: $$ 7(x - 1) - 5(y - 1) = 0 $$ $$ 7(x - 1) = 5(y - 1) $$ Так как $\operatorname{НОД}(7, 5) = 1$, разность $x - 1$ делится на $5$. Пусть $x - 1 = 5k$, то есть $x = 1 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставим в равенство: $$ 7 \cdot 5k = 5(y - 1) $$ $$ 7k = y - 1 \implies y = 1 + 7k $$ Ответ: $x = 1 + 5k$, $y = 1 + 7k$, где $k \in \mathbb{Z}$. --- д) $2x + 7y = 14$ Найдем частное целочисленное решение. При $x = 0$ получаем $7y = 14$, откуда $y = 2$. Пара $(0; 2)$ — решение: $$ 2 \cdot 0 + 7 \cdot 2 = 14 $$ Вычтем равенство из исходного уравнения: $$ 2(x - 0) + 7(y - 2) = 0 $$ $$ 2x = 7(2 - y) $$ Так как $\operatorname{НОД}(2, 7) = 1$, число $x$ делится на $7$. Пусть $x = 7k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда: $$ 2 \cdot 7k = 7(2 - y) $$ $$ 2k = 2 - y \implies y = 2 - 2k $$ Ответ: $x = 7k$, $y = 2 - 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. --- е) $3x + 5y = 60$ Найдем частное целочисленное решение. При $x = 0$ получаем $5y = 60$, откуда $y = 12$. Пара $(0; 12)$ — решение: $$ 3 \cdot 0 + 5 \cdot 12 = 60 $$ Вычтем равенство из исходного уравнения: $$ 3(x - 0) + 5(y - 12) = 0 $$ $$ 3x = 5(12 - y) $$ Так как $\operatorname{НОД}(3, 5) = 1$, число $x$ делится на $5$. Пусть $x = 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда: $$ 3 \cdot 5k = 5(12 - y) $$ $$ 3k = 12 - y \implies y = 12 - 3k $$ Ответ: $x = 5k$, $y = 12 - 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.