ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 441

a) Докажем тождество $(1 + x^6)(1 - x^3)(x^3 + 1) = 1 - x^{12}$. Для доказательства преобразуем левую часть равенства. От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому $x^3 + 1 = 1 + x^3$. Перемножим второй и третий множители, применив формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ (1 - x^3)(x^3 + 1) = (1 - x^3)(1 + x^3) = 1^2 - (x^3)^2 = 1 - x^6 $$ Подставим полученный результат в левую часть и снова применим формулу разности квадратов: $$ (1 + x^6)(1 - x^6) = 1^2 - (x^6)^2 = 1 - x^{12} $$ В результате преобразований левая часть совпала с правой: $$ 1 - x^{12} = 1 - x^{12} $$ Тождество доказано. б) Докажем тождество $(m - n)(m^2 + n^2)(n + m) = m^4 - n^4$. Преобразуем левую часть равенства. Используя переместительный закон умножения и сложения, сгруппируем множители удобным способом: $$ (m - n)(m^2 + n^2)(n + m) = (m - n)(m + n)(m^2 + n^2) $$ Применим формулу разности квадратов к произведению первых двух скобок: $$ (m - n)(m + n) = m^2 - n^2 $$ Теперь перемножим полученную разность с оставшимся множителем, снова применив формулу разности квадратов: $$ (m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = (m^2)^2 - (n^2)^2 = m^4 - n^4 $$ В результате преобразований левая часть равна правой: $$ m^4 - n^4 = m^4 - n^4 $$ Тождество доказано.