ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 820

Заметим, что шестизначное число, составленное из шести одинаковых цифр $a$ (где $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$), делится нацело на $1001$: $$ \overline{aaaaaa} = a \cdot 111111 = a \cdot 111 \cdot 1001 $$ По условию 60-значное число не содержит нулей, следовательно, его запись состоит только из 9 различных цифр: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Применим принцип Дирихле. Разделим 60 цифр на 9 возможных значений: $$ 60 = 9 \cdot 6 + 6 $$ Так как $60 > 9 \cdot 6$, среди цифр данного числа обязательно найдётся хотя бы одна цифра, которая повторяется не менее 7 раз, а значит, и не менее 6 раз. Выберем 6 таких одинаковых цифр, а все остальные цифры исходного числа зачеркнём. В результате останется шестизначное число вида $\overline{aaaaaa}$, которое делится нацело на $1001$, что и требовалось доказать.