ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 703

**1)** $a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{99} + a^{100}$ Всего в данном выражении $100$ слагаемых (показатели степеней идут от $1$ до $100$). * При $a = 1$: Так как $1$ в любой натуральной степени равна $1$, каждое слагаемое равно $1$: $$1 + 1^2 + 1^3 + \dots + 1^{100} = \underbrace{1 + 1 + 1 + \dots + 1}_{100\text{ слагаемых}} = 100 \cdot 1 = 100$$ * При $a = -1$: Отрицательное число в четной степени положительно, а в нечетной — отрицательно: $(-1)^n = -1$, если $n$ нечетное, и $(-1)^n = 1$, если $n$ четное. $$(-1) + (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 + \dots + (-1)^{99} + (-1)^{100} = (-1) + 1 + (-1) + 1 + \dots + (-1) + 1$$ Сгруппируем слагаемые парами: $$((-1) + 1) + ((-1) + 1) + \dots + ((-1) + 1) = \underbrace{0 + 0 + \dots + 0}_{50\text{ пар}} = 0$$ **Ответ:** при $a = 1$ значение равно $100$; при $a = -1$ значение равно $0$. --- **2)** $a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{98} + a^{99}$ Всего в данном выражении $99$ слагаемых. * При $a = 1$: $$1 + 1^2 + 1^3 + \dots + 1^{99} = \underbrace{1 + 1 + 1 + \dots + 1}_{99\text{ слагаемых}} = 99 \cdot 1 = 99$$ * При $a = -1$: $$(-1) + (-1)^2 + (-1)^3 + \dots + (-1)^{98} + (-1)^{99} = (-1) + 1 + (-1) + 1 + \dots + 1 + (-1)$$ Сгруппируем первые $98$ слагаемых парами: $$(((-1) + 1) + ((-1) + 1) + \dots + ((-1) + 1)) + (-1) = \underbrace{0 + 0 + \dots + 0}_{49\text{ пар}} + (-1) = -1$$ **Ответ:** при $a = 1$ значение равно $99$; при $a = -1$ значение равно $-1$. --- **3)** $a \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot a^4 \cdot \dots \cdot a^{99} \cdot a^{100}$ По свойству степени с одинаковым основанием при умножении показатели складываются: $$a^{1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 99 + 100}$$ Найдем сумму показателей степеней: $$1 + 2 + 3 + \dots + 100 = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050$$ Получаем выражение: $a^{5050}$. * При $a = 1$: $$1^{5050} = 1$$ * При $a = -1$: Так как показатель степени $5050$ — четное число: $$(-1)^{5050} = 1$$ **Ответ:** при $a = 1$ значение равно $1$; при $a = -1$ значение равно $1$. --- **4)** $a \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot a^4 \cdot \dots \cdot a^{98} \cdot a^{99}$ Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $$a^{1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 98 + 99}$$ Найдем сумму показателей степеней: $$1 + 2 + 3 + \dots + 99 = \frac{(1 + 99) \cdot 99}{2} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 50 \cdot 99 = 4950$$ Получаем выражение: $a^{4950}$. * При $a = 1$: $$1^{4950} = 1$$ * При $a = -1$: Так как показатель степени $4950$ — четное число: $$(-1)^{4950} = 1$$ **Ответ:** при $a = 1$ значение равно $1$; при $a = -1$ значение равно $1$.