ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 678

Для разложения многочленов на множители применим формулы сокращённого умножения: - разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$; - сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. 1) Представим $1$ как $1^3$ и применим формулу разности кубов: $$ x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1) $$ 2) Представим $27$ как $3^3$ и применим формулу суммы кубов: $$ 27 + a^3 = 3^3 + a^3 = (3 + a)(3^2 - 3 \cdot a + a^2) = (3 + a)(9 - 3a + a^2) $$ 3) Представим $216$ как $6^3$ и применим формулу разности кубов: $$ 216 - y^3 = 6^3 - y^3 = (6 - y)(6^2 + 6 \cdot y + y^2) = (6 - y)(36 + 6y + y^2) $$ 4) Представим $\frac{1}{8}a^3$ в виде $\left(\frac{1}{2}a\right)^3$ и применим формулу суммы кубов: $$ \frac{1}{8}a^3 + b^3 = \left(\frac{1}{2}a\right)^3 + b^3 = \left(\frac{1}{2}a + b\right)\left(\left(\frac{1}{2}a\right)^2 - \frac{1}{2}a \cdot b + b^2\right) = \left(\frac{1}{2}a + b\right)\left(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2\right) $$ 5) Представим $a^6$ как $(a^2)^3$, а $8$ как $2^3$, после чего применим формулу разности кубов: $$ a^6 - 8 = (a^2)^3 - 2^3 = (a^2 - 2)\left((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2\right) = (a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4) $$ 6) Запишем $a^3b^3$ как $(ab)^3$ и применим формулу разности кубов: $$ a^3b^3 - c^3 = (ab)^3 - c^3 = (ab - c)\left((ab)^2 + ab \cdot c + c^2\right) = (ab - c)(a^2b^2 + abc + c^2) $$ 7) Представим $b^{15}c^{18}$ в виде $(b^5c^6)^3$ и применим формулу разности кубов: $$ a^3 - b^{15}c^{18} = a^3 - (b^5c^6)^3 = (a - b^5c^6)\left(a^2 + a \cdot b^5c^6 + (b^5c^6)^2\right) = (a - b^5c^6)(a^2 + ab^5c^6 + b^{10}c^{12}) $$ 8) Запишем слагаемые в виде кубов: $125c^3d^3 = (5cd)^3$ и $0,008b^3 = (0,2b)^3$. Применим формулу суммы кубов: $$ 125c^3d^3 + 0,008b^3 = (5cd)^3 + (0,2b)^3 = (5cd + 0,2b)\left((5cd)^2 - 5cd \cdot 0,2b + (0,2b)^2\right) = (5cd + 0,2b)(25c^2d^2 - bcd + 0,04b^2) $$ 9) Запишем слагаемые в виде кубов: $\frac{64}{729}x^3 = \left(\frac{4}{9}x\right)^3$ и $\frac{27}{1000}y^6 = \left(\frac{3}{10}y^2\right)^3$. Применим формулу разности кубов: $$ \frac{64}{729}x^3 - \frac{27}{1000}y^6 = \left(\frac{4}{9}x\right)^3 - \left(\frac{3}{10}y^2\right)^3 = \left(\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2\right)\left(\left(\frac{4}{9}x\right)^2 + \frac{4}{9}x \cdot \frac{3}{10}y^2 + \left(\frac{3}{10}y^2\right)^2\right) $$ Упростим выражение во второй скобке, сократив дробь $\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 10} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$: $$ = \left(\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2\right)\left(\frac{16}{81}x^2 + \frac{2}{15}xy^2 + \frac{9}{100}y^4\right) $$