ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 341

**1)** Пусть первое натуральное число равно $n$ ($n$ — натуральное число). Тогда следующие четыре последовательных числа равны $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$ и $n + 4$. Составим сумму этих пяти чисел: $$ n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + 2) $$ Так как один из множителей равен $5$, а число $n + 2$ является натуральным, всё произведение $5(n + 2)$ делится нацело на 5. Утверждение доказано. **2)** Любое чётное натуральное число можно записать в виде $2n$, где $n$ — натуральное число. Тогда три последовательных чётных числа равны $2n$, $2n + 2$ и $2n + 4$. Их сумма равна: $$ 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6 = 6(n + 1) $$ Полученное выражение представлено в виде произведения числа $6$ и натурального числа $(n + 1)$, следовательно, сумма делится нацело на 6. Утверждение доказано. **3)** Любое нечётное натуральное число можно представить в виде $2n - 1$, где $n$ — натуральное число. Тогда четыре последовательных нечётных числа имеют вид: $2n - 1$, $2n + 1$, $2n + 3$ и $2n + 5$. Их сумма равна: $$ (2n - 1) + (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 8n + 8 = 8(n + 1) $$ Множитель $8$ делится на 8, а $(n + 1)$ — натуральное число, значит, произведение $8(n + 1)$ делится нацело на 8. Утверждение доказано. **4)** Пусть первое натуральное число равно $n$. Тогда четыре последовательных натуральных числа имеют вид: $n$, $n + 1$, $n + 2$ и $n + 3$. Найдём их сумму: $$ n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2 $$ Слагаемое $4(n + 1)$ делится нацело на 4, а слагаемое $2$ меньше 4 и нацело на 4 не делится. Таким образом, при делении данной суммы на 4 получается частное $(n + 1)$ и остаток $2$. Значит, сумма не делится нацело на 4. Утверждение доказано. **5)** Пусть первое натуральное число равно $n$. Шесть последовательных натуральных чисел: $n$, $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$, $n + 4$ и $n + 5$. Их сумма равна: $$ n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = 6n + 15 $$ Представим полученное выражение в виде $6q + r$, где $r < 6$: $$ 6n + 15 = 6n + 12 + 3 = 6(n + 2) + 3 $$ Так как $6(n + 2)$ делится нацело на 6, а $3 < 6$, то число $3$ является остатком от деления полученной суммы на 6. Утверждение доказано.