ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1170

Запишем двузначные числа в виде суммы разрядных слагаемых: $\overline{ab} = 10a + b$, где $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$, $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$; $\overline{cd} = 10c + d$, где $c \in \{1, 2, \dots, 9\}$, $d \in \{0, 1, \dots, 9\}$; $\overline{ad} = 10a + d$; $\overline{cb} = 10c + b$. Подставим эти выражения в исходное равенство: $$ (10a + b)(10c + d) = (10a + d)(10c + b) $$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$ 100ac + 10ad + 10bc + bd = 100ac + 10ab + 10cd + bd $$ Вычтем из обеих частей равенства слагаемые $100ac$ и $bd$: $$ 10ad + 10bc = 10ab + 10cd $$ Разделим обе части полученного уравнения на $10$: $$ ad + bc = ab + cd $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ ad + bc - ab - cd = 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (ad - ab) - (cd - bc) = 0 $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ a(d - b) - c(d - b) = 0 $$ $$ (a - c)(d - b) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ a - c = 0 \quad \text{или} \quad d - b = 0 $$ $$ a = c \quad \text{или} \quad b = d $$ Следовательно, равенство выполняется, если: 1) $a = c$, при этом $a, c \in \{1, 2, \dots, 9\}$, а цифры $b$ и $d$ могут принимать любые значения от $0$ до $9$; 2) $b = d$, при этом $b, d \in \{0, 1, \dots, 9\}$, а цифры $a$ и $c$ могут принимать любые значения от $1$ до $9$. Ответ: при $a = c$ (где $a, c \in \{1, 2, \dots, 9\}$, а $b$ и $d$ — любые цифры) или при $b = d$ (где $b, d \in \{0, 1, \dots, 9\}$, а $a$ и $c$ — любые цифры, отличные от нуля).