ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1070

1) Решим систему уравнений методом замены переменных: $$ \begin{cases} \dfrac{1}{x} - \dfrac{7}{y} = 6, \\ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 46. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Пусть $a = \dfrac{1}{x}$, $b = \dfrac{1}{y}$. Тогда получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} a - 7b = 6, \\ 2a + 3b = 46. \end{cases} $$ Выразим $a$ из первого уравнения: $a = 6 + 7b$ Подставим выражение для $a$ во второе уравнение: $$ 2(6 + 7b) + 3b = 46 $$ $$ 12 + 14b + 3b = 46 $$ $$ 17b = 46 - 12 $$ $$ 17b = 34 $$ $$ b = 2 $$ Найдём значение $a$: $a = 6 + 7 \cdot 2 = 6 + 14 = 20$ Вернёмся к исходным переменным: $$ \dfrac{1}{x} = 20 \implies x = \dfrac{1}{20} = 0{,}05 $$ $$ \dfrac{1}{y} = 2 \implies y = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 $$ Оба значения удовлетворяют условиям $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Ответ: $(0{,}05; 0{,}5)$. --- 2) Решим систему уравнений методом замены переменных: $$ \begin{cases} \dfrac{9}{x+4y} - \dfrac{6}{5x-y} = -2, \\ \dfrac{3}{x+4y} + \dfrac{18}{5x-y} = 1. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x + 4y \neq 0$, $5x - y \neq 0$. Пусть $u = \dfrac{1}{x+4y}$, $v = \dfrac{1}{5x-y}$. Получаем систему: $$ \begin{cases} 9u - 6v = -2, \\ 3u + 18v = 1. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $3$, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $v$: $$ \begin{cases} 27u - 18v = -6, \\ 3u + 18v = 1. \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения системы: $$ (27u + 3u) + (-18v + 18v) = -6 + 1 $$ $$ 30u = -5 $$ $$ u = -\dfrac{5}{30} = -\dfrac{1}{6} $$ Подставим найденное значение $u$ во второе уравнение: $$ 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{6}\right) + 18v = 1 $$ $$ -\dfrac{1}{2} + 18v = 1 $$ $$ 18v = 1 + \dfrac{1}{2} $$ $$ 18v = \dfrac{3}{2} $$ $$ v = \dfrac{3}{2 \cdot 18} = \dfrac{1}{12} $$ Вернёмся к исходным переменным: $$ \begin{cases} \dfrac{1}{x+4y} = -\dfrac{1}{6}, \\ \dfrac{1}{5x-y} = \dfrac{1}{12} \end{cases} \implies \begin{cases} x + 4y = -6, \\ 5x - y = 12. \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 5x - 12$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x + 4(5x - 12) = -6 $$ $$ x + 20x - 48 = -6 $$ $$ 21x = 48 - 6 $$ $$ 21x = 42 $$ $$ x = 2 $$ Найдём значение $y$: $y = 5 \cdot 2 - 12 = 10 - 12 = -2$ Проверим знаменатели: $x + 4y = 2 + 4 \cdot (-2) = -6 \neq 0$ $5x - y = 5 \cdot 2 - (-2) = 12 \neq 0$ Ответ: $(2; -2)$.