ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 946

Для упрощения выражений воспользуемся формулой квадрата многочлена: $$ (p + q + r)^2 = p^2 + q^2 + r^2 + 2pq + 2pr + 2qr $$ а также формулами сокращённого умножения: квадратом суммы, квадратом разности и разностью квадратов. **а)** $(x + 2y + z)^2 - 2(2xy + xz + 2yz)$ Раскроем квадрат трёхчлена: $$ (x + 2y + z)^2 = x^2 + (2y)^2 + z^2 + 2 \cdot x \cdot 2y + 2 \cdot x \cdot z + 2 \cdot 2y \cdot z = x^2 + 4y^2 + z^2 + 4xy + 2xz + 4yz $$ Раскроем скобки во второй части выражения: $$ -2(2xy + xz + 2yz) = -4xy - 2xz - 4yz $$ Подставим полученные результаты в исходное выражение и приведём подобные слагаемые: $$ (x^2 + 4y^2 + z^2 + 4xy + 2xz + 4yz) - 4xy - 2xz - 4yz = x^2 + 4y^2 + z^2 $$ **Ответ:** $x^2 + 4y^2 + z^2$ --- **б)** $(3m - n - k)^2 + 2(3mn + 3mk - nk)$ Представим трёхчлен как сумму слагаемых с их знаками: $(3m + (-n) + (-k))^2$. Раскроем квадрат: $$ (3m - n - k)^2 = (3m)^2 + (-n)^2 + (-k)^2 + 2 \cdot 3m \cdot (-n) + 2 \cdot 3m \cdot (-k) + 2 \cdot (-n) \cdot (-k) = $$ $$ = 9m^2 + n^2 + k^2 - 6mn - 6mk + 2nk $$ Раскроем вторые скобки: $$ 2(3mn + 3mk - nk) = 6mn + 6mk - 2nk $$ Сложим полученные многочлены: $$ 9m^2 + n^2 + k^2 - 6mn - 6mk + 2nk + 6mn + 6mk - 2nk = 9m^2 + n^2 + k^2 $$ **Ответ:** $9m^2 + n^2 + k^2$ --- **в)** $(4a + 2b - 3)^2 - (4a - 2b + 3)^2$ Применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$, где $X = 4a + 2b - 3$, а $Y = 4a - 2b + 3$: $$ ((4a + 2b - 3) - (4a - 2b + 3)) \cdot ((4a + 2b - 3) + (4a - 2b + 3)) = $$ $$ = (4a + 2b - 3 - 4a + 2b - 3) \cdot (4a + 2b - 3 + 4a - 2b + 3) = $$ $$ = (4b - 6) \cdot 8a = 32ab - 48a $$ **Ответ:** $32ab - 48a$ --- **г)** $(c^2 + 2c + 3)^2 + (c^2 - 2c - 3)^2 - 2(c^2 + 2)^2$ Сгруппируем слагаемые в первых двух скобках: $$ c^2 + 2c + 3 = c^2 + (2c + 3) $$ $$ c^2 - 2c - 3 = c^2 - (2c + 3) $$ Применим формулу $(A + B)^2 + (A - B)^2 = 2(A^2 + B^2)$, где $A = c^2$, а $B = 2c + 3$: $$ (c^2 + (2c + 3))^2 + (c^2 - (2c + 3))^2 = 2 \cdot \left((c^2)^2 + (2c + 3)^2\right) = 2 \cdot (c^4 + 4c^2 + 12c + 9) $$ Раскроем скобки в третьей части выражения: $$ -2(c^2 + 2)^2 = -2(c^4 + 4c^2 + 4) $$ Соберем всё выражение вместе: $$ 2(c^4 + 4c^2 + 12c + 9) - 2(c^4 + 4c^2 + 4) = 2 \cdot (c^4 + 4c^2 + 12c + 9 - c^4 - 4c^2 - 4) = $$ $$ = 2 \cdot (12c + 5) = 24c + 10 $$ **Ответ:** $24c + 10$