ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 909

а) Докажем неравенство: $$ x^2 - 22x + 121 \geqslant 0 $$ Преобразуем выражение в левой части, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ x^2 - 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2 = (x - 11)^2 $$ Получаем неравенство: $$ (x - 11)^2 \geqslant 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x - 11)^2 \geqslant 0$ при любом значении $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - 22x + 121 \geqslant 0$ верно при любом значении $x$, что и требовалось доказать. б) Докажем неравенство: $$ -1 + 4x - 4x^2 \leqslant 0 $$ Вынесем за скобки множитель $-1$ и упорядочим слагаемые по убыванию степеней: $$ -(4x^2 - 4x + 1) \leqslant 0 $$ Свернем выражение в скобках по формуле квадрата разности $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$: $$ -(2x - 1)^2 \leqslant 0 $$ Так как $(2x - 1)^2 \geqslant 0$ при любом значении $x$, то противоположное ему выражение $-(2x - 1)^2 \leqslant 0$ также верно при любом значении $x$. Следовательно, неравенство $-1 + 4x - 4x^2 \leqslant 0$ верно при любом значении $x$, что и требовалось доказать.