ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 80

а) Пусть $x = 1,(3) = 1,333...$ Умножим обе части на $10$: $$ 10x = 13,(3) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 10x - x = 13,(3) - 1,(3) $$ $$ 9x = 12 $$ $$ x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Ответ: $\dfrac{4}{3}$ (или $1\dfrac{1}{3}$). б) Пусть $x = 2,(25) = 2,252525...$ Так как в периоде две цифры, умножим обе части на $100$: $$ 100x = 225,(25) $$ Вычтем из полученного уравнения исходное: $$ 100x - x = 225,(25) - 2,(25) $$ $$ 99x = 223 $$ $$ x = \frac{223}{99} = 2\frac{25}{99} $$ Ответ: $\dfrac{223}{99}$ (или $2\dfrac{25}{99}$). в) Пусть $x = 1,6(7) = 1,6777...$ Умножим число сначала на $10$, чтобы перенести запятую к началу периода, а затем на $100$, чтобы перенести запятую через один период: $$ 10x = 16,(7) $$ $$ 100x = 167,(7) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 100x - 10x = 167,(7) - 16,(7) $$ $$ 90x = 151 $$ $$ x = \frac{151}{90} = 1\frac{61}{90} $$ Ответ: $\dfrac{151}{90}$ (или $1\dfrac{61}{90}$). г) Пусть $x = 0,41(6) = 0,41666...$ Период начинается после двух знаков после запятой и состоит из одной цифры. Умножим число на $100$ и на $1000$: $$ 100x = 41,(6) $$ $$ 1000x = 416,(6) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 1000x - 100x = 416,(6) - 41,(6) $$ $$ 900x = 375 $$ $$ x = \frac{375}{900} $$ Сократим дробь на $75$ (или последовательно на $25$ и на $3$): $$ x = \frac{375 : 75}{900 : 75} = \frac{5}{12} $$ Ответ: $\dfrac{5}{12}$. д) Пусть $x = 5,2(45) = 5,24545...$ Умножим обе части уравнения на $10$ и на $1000$: $$ 10x = 52,(45) $$ $$ 1000x = 5245,(45) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 1000x - 10x = 5245,(45) - 52,(45) $$ $$ 990x = 5193 $$ $$ x = \frac{5193}{990} $$ Сократим дробь на $9$ (сумма цифр $5 + 1 + 9 + 3 = 18$ делится на $9$): $$ x = \frac{5193 : 9}{990 : 9} = \frac{577}{110} = 5\frac{27}{110} $$ Ответ: $\dfrac{577}{110}$ (или $5\dfrac{27}{110}$). е) Пусть $x = 3,6(020) = 3,6020020...$ Умножим обе части уравнения на $10$ и на $10000$: $$ 10x = 36,(020) $$ $$ 10000x = 36020,(020) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 10000x - 10x = 36020,(020) - 36,(020) $$ $$ 9990x = 35984 $$ $$ x = \frac{35984}{9990} $$ Сократим полученную дробь на $2$: $$ x = \frac{35984 : 2}{9990 : 2} = \frac{17992}{4995} = 3\frac{3007}{4995} $$ Ответ: $\dfrac{17992}{4995}$ (или $3\dfrac{3007}{4995}$).