ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1625

Запишем числа $\overline{ab}$ и $\overline{bc}$ в виде суммы разрядных слагаемых: $$ \overline{ab} = 10a + b $$ $$ \overline{bc} = 10b + c $$ Здесь $a$, $b$ и $c$ — цифры, причём $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$, $b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$, $c \in \{0, 1, \ldots, 9\}$. Так как запись $\overline{bc}$ представляет число, в стандартной десятичной записи старшая цифра не может быть нулём, то есть $b \neq 0$ (случай $b = 0$ рассмотрим отдельно). Подставим разложения в исходное равенство: $$ (10a + b) - (10b + c) = 5 $$ $$ 10a - 9b - c = 5 $$ Выразим цифру $c$: $$ c = 10a - 9b - 5 $$ Так как $c$ — цифра, должно выполняться двойное неравенство $0 \le c \le 9$: $$ 0 \le 10a - 9b - 5 \le 9 $$ Прибавим $9b + 5$ ко всем частям неравенства: $$ 9b + 5 \le 10a \le 9b + 14 $$ Последовательно переберём возможные значения цифры $b$: 1. Если $b = 1$: $$9 \cdot 1 + 5 \le 10a \le 9 \cdot 1 + 14 \implies 14 \le 10a \le 23$$ Единственное возможное значение цифры $a = 2$. Тогда $c = 10 \cdot 2 - 9 \cdot 1 - 5 = 20 - 14 = 6$. Получаем число: $216$ (проверка: $21 - 16 = 5$). 2. Если $b = 2$: $$9 \cdot 2 + 5 \le 10a \le 9 \cdot 2 + 14 \implies 23 \le 10a \le 32$$ Значит, $a = 3$. Тогда $c = 10 \cdot 3 - 9 \cdot 2 - 5 = 30 - 23 = 7$. Получаем число: $327$ (проверка: $32 - 27 = 5$). 3. Если $b = 3$: $$9 \cdot 3 + 5 \le 10a \le 9 \cdot 3 + 14 \implies 32 \le 10a \le 41$$ Значит, $a = 4$. Тогда $c = 10 \cdot 4 - 9 \cdot 3 - 5 = 40 - 32 = 8$. Получаем число: $438$ (проверка: $43 - 38 = 5$). 4. Если $b = 4$: $$9 \cdot 4 + 5 \le 10a \le 9 \cdot 4 + 14 \implies 41 \le 10a \le 50$$ В этом промежутке $10a$ может быть равно $50$, откуда $a = 5$. Тогда $c = 10 \cdot 5 - 9 \cdot 4 - 5 = 50 - 41 = 9$. Получаем число: $549$ (проверка: $54 - 49 = 5$). 5. Если $b = 5$: $$9 \cdot 5 + 5 \le 10a \le 9 \cdot 5 + 14 \implies 50 \le 10a \le 59$$ Значит, $a = 5$. Тогда $c = 10 \cdot 5 - 9 \cdot 5 - 5 = 50 - 50 = 0$. Получаем число: $550$ (проверка: $55 - 50 = 5$). 6. Если $b = 6$: $$9 \cdot 6 + 5 \le 10a \le 9 \cdot 6 + 14 \implies 59 \le 10a \le 68$$ Значит, $a = 6$. Тогда $c = 10 \cdot 6 - 9 \cdot 6 - 5 = 60 - 59 = 1$. Получаем число: $661$ (проверка: $66 - 61 = 5$). 7. Если $b = 7$: $$9 \cdot 7 + 5 \le 10a \le 9 \cdot 7 + 14 \implies 68 \le 10a \le 77$$ Значит, $a = 7$. Тогда $c = 10 \cdot 7 - 9 \cdot 7 - 5 = 70 - 68 = 2$. Получаем число: $772$ (проверка: $77 - 72 = 5$). 8. Если $b = 8$: $$9 \cdot 8 + 5 \le 10a \le 9 \cdot 8 + 14 \implies 77 \le 10a \le 86$$ Значит, $a = 8$. Тогда $c = 10 \cdot 8 - 9 \cdot 8 - 5 = 80 - 77 = 3$. Получаем число: $883$ (проверка: $88 - 83 = 5$). 9. Если $b = 9$: $$9 \cdot 9 + 5 \le 10a \le 9 \cdot 9 + 14 \implies 86 \le 10a \le 95$$ Значит, $a = 9$. Тогда $c = 10 \cdot 9 - 9 \cdot 9 - 5 = 90 - 86 = 4$. Получаем число: $994$ (проверка: $99 - 94 = 5$). *Примечание.* Если допустить, что запись $\overline{bc}$ формально может иметь ведущий ноль ($b = 0$, тогда $\overline{bc} = c$): $$5 \le 10a \le 14 \implies a = 1, \quad c = 10 - 5 = 5$$ Это даёт дополнительное трёхзначное число $105$ (проверка: $10 - 5 = 5$). Ответ: $\{216, 327, 438, 549, 550, 661, 772, 883, 994\}$ (или $\{105, 216, 327, 438, 549, 550, 661, 772, 883, 994\}$, если допускается $b = 0$).