ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1501

Пусть $n$ — среднее из трёх последовательных целых чисел, тогда эти числа можно записать как $n - 1$, $n$ и $n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Запишем сумму кубов этих чисел: $$ S = (n - 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 $$ Применим формулы куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $$ (n - 1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 $$ $$ (n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 $$ Подставим полученные выражения в сумму: $$ S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) $$ Приведём подобные слагаемые: $$ S = n^3 + n^3 + n^3 - 3n^2 + 3n^2 + 3n + 3n - 1 + 1 $$ $$ S = 3n^3 + 6n $$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки: $$ S = 3(n^3 + 2n) $$ Так как $n$ — целое число, то значение выражения $(n^3 + 2n)$ также является целым числом. Следовательно, полученное произведение делится на $3$ без остатка. Что и требовалось доказать.