ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1493

Предположим противное: пусть на прямой $32x + 48y = 105$ существует точка с целочисленными координатами $(x; y)$, то есть $x \in \mathbb{Z}$ и $y \in \mathbb{Z}$. Преобразуем левую часть уравнения, вынеся общий множитель $16$ за скобки: $$ 16(2x + 3y) = 105 $$ Так как по предположению $x$ и $y$ — целые числа, выражение $(2x + 3y)$ также является целым числом. Следовательно, левая часть уравнения $16(2x + 3y)$ делится на $16$ (и, в частности, является чётным числом). Правая часть уравнения равна $105$ — это нечётное число, которое не делится на $16$ ($105 = 16 \cdot 6 + 9$). Получаем противоречие: чётное число (кратное $16$) не может быть равно нечётному числу $105$. Значит, наше предположение неверно, и уравнение $32x + 48y = 105$ не имеет решений в целых числах. Таким образом, на данной прямой нет ни одной точки с целочисленными координатами, что и требовалось доказать.