ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1451

Для определения количества решений системы линейных уравнений вида $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ сравним отношения соответствующих коэффициентов: - если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, то система имеет единственное решение (прямые пересекаются); - если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, то система не имеет решений (прямые параллельны); - если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, то система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают). --- a) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 6y = 5, \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $$ Сравним отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2} = 1,5 $$ $$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-6}{3} = -2 $$ Так как $\frac{3}{2} \neq \frac{-6}{3}$, коэффициенты при переменных не пропорциональны, следовательно, система имеет одно решение. Ответ: одно решение. --- b) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 0,5x + 2y = 0,8, \\ 2,5x + 10y = 6 \end{cases} $$ Найдем отношения коэффициентов: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{0,5}{2,5} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{0,8}{6} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15} $$ Так как $\frac{0,5}{2,5} = \frac{2}{10} \neq \frac{0,8}{6}$ (то есть $\frac{1}{5} \neq \frac{2}{15}$), графики уравнений представляют собой параллельные прямые, следовательно, система решений не имеет. Ответ: решений нет. --- c) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 4x - 3y = 12, \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}y = 1 \end{cases} $$ Найдем отношения соответствующих коэффициентов: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{\frac{1}{3}} = 4 \cdot 3 = 12 $$ $$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-\frac{1}{4}} = (-3) \cdot (-4) = 12 $$ $$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{12}{1} = 12 $$ Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 12$, все коэффициенты пропорциональны (если умножить обе части второго уравнения на $12$, получится первое уравнение), следовательно, прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений. Ответ: бесконечно много решений. --- d) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 0,3y = 1, \\ 4x + 0,6y = 1 \end{cases} $$ Сравним отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = 0,5 $$ $$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-0,3}{0,6} = -0,5 $$ Так как $0,5 \neq -0,5$, то $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, следовательно, графики уравнений пересекаются и система имеет одно решение. Ответ: одно решение.