ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1442

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} a^3 + a^2x + ay + z = 0, \\ b^3 + b^2x + by + z = 0, \\ c^3 + c^2x + cy + z = 0. \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (a^3 - b^3) + (a^2 - b^2)x + (a - b)y = 0 $$ Разложим на множители разности степеней: $$ (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a - b)(a + b)x + (a - b)y = 0 $$ Так как по условию $a \neq b$, разделим обе части уравнения на $(a - b)$: $$ a^2 + ab + b^2 + (a + b)x + y = 0 \quad (1) $$ Аналогично вычтем из второго уравнения третье: $$ (b^3 - c^3) + (b^2 - c^2)x + (b - c)y = 0 $$ $$ (b - c)(b^2 + bc + c^2) + (b - c)(b + c)x + (b - c)y = 0 $$ Так как $b \neq c$, разделим обе части уравнения на $(b - c)$: $$ b^2 + bc + c^2 + (b + c)x + y = 0 \quad (2) $$ Теперь вычтем уравнение $(2)$ из уравнения $(1)$: $$ (a^2 + ab + b^2) - (b^2 + bc + c^2) + ((a + b) - (b + c))x = 0 $$ Упростим полученное выражение: $$ (a^2 - c^2) + (ab - bc) + (a - c)x = 0 $$ $$ (a - c)(a + c) + b(a - c) + (a - c)x = 0 $$ Вынесем общий множитель $(a - c)$ за скобки: $$ (a - c)(a + b + c + x) = 0 $$ Поскольку $a \neq c$, то $a - c \neq 0$. Разделим на $(a - c)$: $$ a + b + c + x = 0 $$ $$ x = -(a + b + c) $$ Подставим найденное выражение для $x$ в уравнение $(1)$, чтобы найти $y$: $$ y = -(a^2 + ab + b^2) - (a + b)x $$ $$ y = -a^2 - ab - b^2 - (a + b)(-(a + b + c)) $$ $$ y = -a^2 - ab - b^2 + (a + b)(a + b + c) $$ Раскроем скобки: $$ y = -a^2 - ab - b^2 + a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc $$ Приведем подобные слагаемые: $$ y = ab + bc + ca $$ Подставим найденные значения $x$ и $y$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $z$: $$ z = -a^3 - a^2x - ay $$ $$ z = -a^3 - a^2(-(a + b + c)) - a(ab + bc + ca) $$ Раскроем скобки: $$ z = -a^3 + a^3 + a^2b + a^2c - a^2b - abc - a^2c $$ Приведем подобные слагаемые: $$ z = -abc $$ Ответ: $x = -(a + b + c)$, $y = ab + bc + ca$, $z = -abc$.