ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1286

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Представим выражения в четвёртой степени как квадраты: $$ (a + b)^4 - (a - b)^4 = \bigl((a + b)^2\bigr)^2 - \bigl((a - b)^2\bigr)^2 $$ Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = (a + b)^2$, а $y = (a - b)^2$: $$ \bigl((a + b)^2\bigr)^2 - \bigl((a - b)^2\bigr)^2 = \bigl((a + b)^2 - (a - b)^2\bigr)\bigl((a + b)^2 + (a - b)^2\bigr) $$ Упростим выражение в каждой из скобок, применив формулы квадрата суммы и квадрата разности: 1) В первой скобке: $$ (a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = $$ $$ = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab $$ 2) Во второй скобке: $$ (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = $$ $$ = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2) $$ Подставим полученные результаты обратно в произведение: $$ 4ab \cdot 2(a^2 + b^2) = 8ab(a^2 + b^2) $$ Получили выражение, совпадающее с правой частью исходного равенства: $$ 8ab(a^2 + b^2) = 8ab(a^2 + b^2) $$ Тождество доказано.