ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1251

Пусть $n$, $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$ — четыре последовательных натуральных числа, где $n \in \mathbb{N}$. Запишем их произведение: $$ P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) $$ Среди четырёх последовательных натуральных чисел ровно два числа являются чётными, причём они идут через одно. Рассмотрим два возможных случая в зависимости от чётности числа $n$: 1. Пусть $n$ — чётное число. Тогда его можно представить в виде $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$. Следующее чётное число равно $n + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)$. Рассмотрим произведение этих двух чётных сомножителей: $$ n(n + 2) = 2k \cdot 2(k + 1) = 4k(k + 1) $$ Числа $k$ и $k + 1$ являются двумя последовательными натуральными числами, поэтому одно из них обязательно чётно, а значит, произведение $k(k + 1)$ делится на $2$. Следовательно, выражение $4k(k + 1)$ делится на $4 \cdot 2 = 8$. Так как произведение двух сомножителей делится на 8, то и всё произведение $P$ кратно 8. 2. Пусть $n$ — нечётное число. Тогда $n = 2k - 1$, где $k \in \mathbb{N}$. В этом случае чётными будут числа $n + 1$ и $n + 3$: $$ n + 1 = (2k - 1) + 1 = 2k $$ $$ n + 3 = (2k - 1) + 3 = 2k + 2 = 2(k + 1) $$ Их произведение равно: $$ (n + 1)(n + 3) = 2k \cdot 2(k + 1) = 4k(k + 1) $$ Так как одно из последовательных чисел $k$ или $k + 1$ является чётным, произведение $k(k + 1)$ делится на $2$. Отсюда следует, что $4k(k + 1)$ кратно 8, а значит, и всё произведение $P$ кратно 8. Таким образом, в обоих случаях произведение четырёх последовательных натуральных чисел делится на 8. Что и требовалось доказать.