ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1164

Две функции называются равными (то есть задают одну и ту же функцию), если совпадают их области определения и для каждого значения аргумента $x$ значения функций равны. 1. Найдем области определения обеих функций: Для формулы $y = (x + 5)^2 - (x - 5)^2$ допустимыми являются любые значения $x$, то есть её область определения — множество всех действительных чисел: $D(y) = \mathbb{R}$. Для формулы $y = 20x$ область определения также представляет собой множество всех действительных чисел: $D(y) = \mathbb{R}$. Области определения функций совпадают. 2. Преобразуем правую часть первой формулы с помощью формул квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (x + 5)^2 - (x - 5)^2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) $$ $$ = (x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 10x + 25) $$ Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные: $$ = x^2 + 10x + 25 - x^2 + 10x - 25 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ = (x^2 - x^2) + (10x + 10x) + (25 - 25) = 20x $$ Таким образом, выражение $(x + 5)^2 - (x - 5)^2$ тождественно равно $20x$ при всех действительных $x$. Так как области определения функций совпадают и при любом значении $x$ соответствующие значения функций равны, формулами $y = (x + 5)^2 - (x - 5)^2$ и $y = 20x$ задана одна и та же функция, что и требовалось доказать.