ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1051

Для разложения трехчленов на множители применим формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$ и квадрат разности $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$. а) Представим первое слагаемое как $(x^2)^2$, последнее как $5^2$, а среднее слагаемое проверим на удвоенное произведение: $$ x^4 + 10x^2 + 25 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 5^2 = (x^2 + 5)^2 $$ б) Выделим квадраты выражений $2a^2$ и $3$, а также их удвоенное произведение со знаком «минус»: $$ 4a^4 - 12a^2 + 9 = (2a^2)^2 - 2 \cdot 2a^2 \cdot 3 + 3^2 = (2a^2 - 3)^2 $$ в) Представим крайние члены в виде квадратов $m^2$ и $10n$: $$ m^4 - 20m^2n + 100n^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 10n + (10n)^2 = (m^2 - 10n)^2 $$ г) Запишем трехчлен как сумму квадратов выражений $4p$ и $k^3$ и их удвоенного произведения: $$ 16p^2 + 8pk^3 + k^6 = (4p)^2 + 2 \cdot 4p \cdot k^3 + (k^3)^2 = (4p + k^3)^2 $$ д) Выделим квадраты одночленов $2x^2$ и $3y^2$: $$ 4x^4 - 12x^2y^2 + 9y^4 = (2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot 3y^2 + (3y^2)^2 = (2x^2 - 3y^2)^2 $$ е) Запишем дробные коэффициенты и переменные в виде квадратов выражений $\frac{1}{3}a^3$ и $\frac{1}{2}b^2$: $$ \frac{1}{9}a^6 + \frac{1}{3}a^3b^2 + \frac{1}{4}b^4 = \left(\frac{1}{3}a^3\right)^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{3}a^3\right) \cdot \left(\frac{1}{2}b^2\right) + \left(\frac{1}{2}b^2\right)^2 = \left(\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}b^2\right)^2 $$ Ответ: а) $(x^2 + 5)^2$; б) $(2a^2 - 3)^2$; в) $(m^2 - 10n)^2$; г) $(4p + k^3)^2$; д) $(2x^2 - 3y^2)^2$; е) $\left(\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}b^2\right)^2$.