ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1031

a) $16x^4 - 81y^4$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ 16x^4 - 81y^4 = (4x^2)^2 - (9y^2)^2 = (4x^2 - 9y^2)(4x^2 + 9y^2) $$ Первый множитель снова представляет собой разность квадратов: $$ 4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y) $$ Получаем: $$ (4x^2 - 9y^2)(4x^2 + 9y^2) = (2x - 3y)(2x + 3y)(4x^2 + 9y^2) $$ Ответ: $(2x - 3y)(2x + 3y)(4x^2 + 9y^2)$. --- b) $\frac{1}{81}m^8 - 1$ Используем формулу разности квадратов: $$ \frac{1}{81}m^8 - 1 = \left(\frac{1}{9}m^4\right)^2 - 1^2 = \left(\frac{1}{9}m^4 - 1\right)\left(\frac{1}{9}m^4 + 1\right) $$ Разложим первую скобку как разность квадратов еще раз: $$ \frac{1}{9}m^4 - 1 = \left(\frac{1}{3}m^2\right)^2 - 1^2 = \left(\frac{1}{3}m^2 - 1\right)\left(\frac{1}{3}m^2 + 1\right) $$ Итоговое разложение: $$ \left(\frac{1}{3}m^2 - 1\right)\left(\frac{1}{3}m^2 + 1\right)\left(\frac{1}{9}m^4 + 1\right) $$ Ответ: $\left(\frac{1}{3}m^2 - 1\right)\left(\frac{1}{3}m^2 + 1\right)\left(\frac{1}{9}m^4 + 1\right)$. --- c) $48a^4 - 3b^4$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки: $$ 48a^4 - 3b^4 = 3(16a^4 - b^4) $$ Применим формулу разности квадратов к выражению в скобках: $$ 16a^4 - b^4 = (4a^2)^2 - (b^2)^2 = (4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2) $$ Разложим разность квадратов $4a^2 - b^2$: $$ 4a^2 - b^2 = (2a)^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b) $$ Объединяем множители: $$ 3(2a - b)(2a + b)(4a^2 + b^2) $$ Ответ: $3(2a - b)(2a + b)(4a^2 + b^2)$. --- d) $32 - \frac{1}{2}m^6$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $$ 32 - \frac{1}{2}m^6 = \frac{1}{2}(64 - m^6) $$ Представим выражение в скобках как разность квадратов: $$ 64 - m^6 = 8^2 - (m^3)^2 = (8 - m^3)(8 + m^3) $$ Разложим каждый множитель, используя формулы разности и суммы кубов ($a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$): $$ 8 - m^3 = 2^3 - m^3 = (2 - m)(4 + 2m + m^2) $$ $$ 8 + m^3 = 2^3 + m^3 = (2 + m)(4 - 2m + m^2) $$ Подставим полученные выражения: $$ \frac{1}{2}(2 - m)(2 + m)(4 + 2m + m^2)(4 - 2m + m^2) $$ Ответ: $\frac{1}{2}(2 - m)(2 + m)(4 + 2m + m^2)(4 - 2m + m^2)$.