ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень темы исследовательских работ / глава 7 - 1

### Тема исследовательской работы: «Решение систем линейных уравнений в Древней Индии» **Цель работы:** изучить исторические подходы к решению систем линейных уравнений индийскими математиками и сопоставить их с современными школьными методами. --- ### 1. Историческая справка и особенности древнеиндийской алгебры Математика Древней Индии (V–XII вв., труды Ариабхаты, Брахмагупты, Бхаскары II) внесла ключевой вклад в развитие алгебры: * **Обозначение неизвестных:** Индийские ученые первыми начали вводить несколько неизвестных величин в одной задаче. Первое неизвестное называлось словом «яват-тават» (в переводе — «столько, сколько»), а последующие обозначались названиями цветов (черный — *калака*, синий — *нилака*, желтый — *питака* и т. д.). В современных обозначениях это соответствует переменным $x, y, z$. * **Способы записи:** Коэффициенты записывались рядом с названиями переменных, а отрицательные числа обозначались точкой или черточкой над числом. --- ### 2. Основные методы решения систем 1. **Метод последовательного исключения неизвестных:** Индийские математики выражали одно неизвестное через другое или уравнивали коэффициенты при одном из неизвестных для взаимного уничтожения слагаемых при вычитании (прообраз современного метода подстановки и метода сложения). 2. **Метод «обратного счёта» (вилома-гати):** Применялся для систем уравнений, где величины были связаны цепочкой последовательных действий. Решение вели от известного конечного результата к начальным данным, заменяя каждое прямое действие на обратное. 3. **Метод ложного положения:** Неизвестной величине условно присваивалось удобное числовое значение, после чего вычислялась возникающая ошибка (невязка) и с помощью пропорций находился точный ответ. --- ### 3. Разбор классической задачи из трактата Бхаскары II («Лилавати», XII в.) **Условие задачи:** Два торговца вели беседу. Первый сказал второму: «Если ты дашь мне $100$ монет, то у меня станет в $2$ раза больше денег, чем останется у тебя». Второй возразил: «Если ты дашь мне всего $10$ монет, то у меня станет в $6$ раз больше денег, чем останется у тебя». Сколько монет было у каждого торговца первоначально? **Математическая модель:** Пусть $x$ монет — было у первого торговца, а $y$ монет — у второго торговца. После первой передачи монет у первого станет $(x + 100)$, а у второго останется $(y - 100)$. Получаем уравнение: $x + 100 = 2(y - 100)$ После второй передачи монет у второго станет $(y + 10)$, а у первого останется $(x - 10)$. Получаем уравнение: $y + 10 = 6(x - 10)$ Составим систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases} $$ **Решение системы:** 1. Раскроем скобки в каждом уравнении: $$ \begin{cases} x + 100 = 2y - 200 \\ y + 10 = 6x - 60 \end{cases} $$ 2. Приведем уравнения к стандартному виду: $$ \begin{cases} x - 2y = -300 \\ -6x + y = -70 \end{cases} $$ 3. Решим методом подстановки (как в индийском правиле исключения одного неизвестного). Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2y - 300$ 4. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $-6(2y - 300) + y = -70$ $-12y + 1800 + y = -70$ $-11y = -70 - 1800$ $-11y = -1870$ $y = \frac{-1870}{-11}$ $y = 170$ (монет) — было у второго торговца. 5. Найдем значение $x$: $x = 2 \cdot 170 - 300$ $x = 340 - 300$ $x = 40$ (монет) — было у первого торговца. **Проверка:** * Если второй отдаст $100$ монет: у первого $40 + 100 = 140$, у второго $170 - 100 = 70$. $140 = 2 \cdot 70$ (верно). * Если первый отдаст $10$ монет: у первого $40 - 10 = 30$, у второго $170 + 10 = 180$. $180 = 6 \cdot 30$ (верно). --- ### Вывод Индийские математики сформировали фундамент современной алгебры: они первыми применили буквенную символику для нескольких переменных и разработали приемы исключения неизвестных, которые сегодня изучаются в 7 классе в виде методов подстановки и алгебраического сложения. Ответ к исследованной задаче: у первого торговца было $40$ монет, у второго торговца — $170$ монет.