ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень темы исследовательских работ / глава 5 - 3

### Исследовательская работа: Делимость на 2 и на 3 числовых выражений, содержащих квадраты и кубы различных натуральных чисел **Цель работы:** изучить остатки от деления квадратов и кубов натуральных чисел на $2$ и на $3$, а также доказать свойства делимости основных выражений, составленных из этих степеней. --- ### 1. Делимость на 2 выражений, содержащих квадраты и кубы Любое натуральное число $n$ при делении на 2 может быть либо чётным ($n = 2k$), либо нечётным ($n = 2k + 1$), где $k$ — целое неотрицательное число. 1. **Квадраты чисел:** * Если $n = 2k$, то: $$ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \cdot (2k^2) $$ Число $n^2$ делится на 2 (является чётным). * Если $n = 2k + 1$, то: $$ n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 $$ Число $n^2$ не делится на 2 (является нечётным) и даёт остаток 1. 2. **Кубы чисел:** * Если $n = 2k$, то $n^3 = (2k)^3 = 8k^3 = 2 \cdot (4k^3)$ — чётное. * Если $n = 2k + 1$, то $n^3 = (2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$ — нечётное. **Основное свойство:** Чётность $n^2$ и $n^3$ всегда совпадает с чётностью самого числа $n$. #### Следствия для числовых выражений: * **Выражение $n^2 - n$ (или $n^2 + n$):** $$ n^2 - n = n(n - 1) $$ Так как числа $n - 1$ и $n$ — два последовательных натуральных числа, одно из них обязательно чётно. Следовательно, выражение $n^2 - n$ делится на 2 при любом натуральном $n$. * **Выражение $n^3 - n$:** $$ n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1) $$ Среди трёх последовательных чисел $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$ по крайней мере одно является чётным, поэтому произведение делится на 2 при любом натуральном $n$. * **Суммы и разности квадратов и кубов двух чисел $a$ и $b$:** * Выражения $a^2 + b^2$, $a^2 - b^2$, $a^3 + b^3$, $a^3 - b^3$ делятся на 2 тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). * Если одно число чётно, а другое нечётно, указанные суммы и разности всегда нечётны. --- ### 2. Делимость на 3 выражений, содержащих квадраты и кубы Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может иметь вид: $3k$, $3k + 1$ или $3k + 2$ (что можно записать как $3k - 1$), где $k$ — целое число. #### А. Квадраты натуральных чисел при делении на 3: * Если $n = 3k$, то: $$ n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3 \cdot (3k^2) $$ Остаток равен 0 (число делится на 3). * Если $n = 3k \pm 1$, то: $$ n^2 = (3k \pm 1)^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1 $$ Остаток равен 1. **Теорема 1.** Квадрат любого натурального числа при делении на 3 даёт остаток 0 или 1. Остаток 2 квадрат дать не может. **Следствия для выражений с квадратами:** 1. **Сумма квадратов двух чисел ($a^2 + b^2$):** Возможные остатки для $a^2$ и $b^2$ — это 0 или 1. * $0 + 0 = 0$ (делится на 3); * $0 + 1 = 1$ (не делится на 3); * $1 + 1 = 2$ (не делится на 3). Таким образом, выражение $a^2 + b^2$ делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из чисел $a$ и $b$ делится на 3. 2. **Разность квадратов двух чисел ($a^2 - b^2$):** * Если $a$ и $b$ оба делятся на 3, то разность их квадратов делится на 3 (остатки: $0 - 0 = 0$). * Если ни $a$, ни $b$ не делятся на 3, то квадраты каждого из них дают остаток 1, а разность квадратов даёт остаток $1 - 1 = 0$, то есть делится на 3. * Если одно из чисел делится на 3, а другое нет, разность квадратов не делится на 3. Таким образом, выражение $a^2 - b^2$ делится на 3, если числа $a$ и $b$ одновременно кратны 3 или одновременно не кратны 3. #### Б. Кубы натуральных чисел при делении на 3: * Если $n = 3k$, то $n^3 = 27k^3 = 3 \cdot (9k^3)$ — делится на 3 (остаток 0). * Если $n = 3k + 1$, то: $$ n^3 = (3k + 1)^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 3(9k^3 + 9k^2 + 3k) + 1 $$ Остаток равен 1. * Если $n = 3k - 1$ (то есть $3k + 2$), то: $$ n^3 = (3k - 1)^3 = 27k^3 - 27k^2 + 9k - 1 = 3(9k^3 - 9k^2 + 3k - 1) + 2 $$ Остаток равен 2. **Теорема 2.** Остаток от деления куба числа $n^3$ на 3 совпадает с остатком от деления самого числа $n$ на 3. **Следствия для выражений с кубами:** 1. **Разность $n^3 - n$ делится на 3 при любом натуральном $n$:** $$ n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1) $$ Числа $(n - 1)$, $n$ и $(n + 1)$ — три последовательных натуральных числа. Из трёх последовательных чисел ровно одно обязательно делится на 3, следовательно, их произведение делится на 3. 2. **Делимость выражений вида $n^3 + 2n$ и $n^3 + 5n$:** Преобразуем выражения, выделив разность $n^3 - n$: $$ n^3 + 2n = (n^3 - n) + 3n $$ Так как $(n^3 - n)$ делится на 3 и $3n$ делится на 3, вся сумма кратна 3 при любом натуральном $n$. $$ n^3 + 5n = (n^3 - n) + 6n $$ Так как $(n^3 - n)$ делится на 3 и $6n$ делится на 3, выражение кратно 3 при любом $n$. 3. **Сумма кубов трёх последовательных чисел:** Пусть числа равны $(n - 1)$, $n$ и $(n + 1)$. Составим сумму их кубов: $$ (n - 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = 3n^3 + 6n = 3n(n^2 + 2) $$ Так как полученное выражение содержит множитель 3, сумма кубов трёх последовательных чисел всегда делится на 3 (а также делится на 9). --- ### 3. Числовые примеры 1. **Проверка делимости на 2:** * Пусть $a = 7$, $b = 3$ (оба нечётные): $$ a^2 - b^2 = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40 \quad (40 : 2 = 20) $$ $$ a^3 + b^3 = 7^3 + 3^3 = 343 + 27 = 370 \quad (370 : 2 = 185) $$ Значения выражений чётные. 2. **Проверка делимости на 3:** * Пусть $a = 5$ и $b = 4$ (оба числа не делятся на 3): $$ a^2 - b^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \quad (9 : 3 = 3) $$ Разность квадратов делится на 3. * Для выражения $n^3 + 2n$ при $n = 4$: $$ 4^3 + 2 \cdot 4 = 64 + 8 = 72 \quad (72 : 3 = 24) $$ Значение выражения делится на 3. --- ### Вывод 1. При исследовании делимости на 2 определяющую роль играет чётность оснований степеней: степени $n^2$ и $n^3$ сохраняют чётность числа $n$. 2. При исследовании делимости на 3: * Квадрат любого числа может давать только остатки 0 или 1, что накладывает жёсткие ограничения на суммы квадратов (выражение $a^2 + b^2$ делится на 3 только при одновременной делимости на 3 чисел $a$ и $b$). * Куб числа сохраняет остаток основания, откуда следует, что разность $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ кратна 3 (а также кратна 2, то есть делится на 6) при всех натуральных $n$.