ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень темы исследовательских работ / глава 3 - 3

### Исследовательская работа по теме: «Решение уравнений в Древней Индии» #### 1. Историческая справка Развитие алгебры в Древней Индии (V–XII вв. н. э.) связано с именами выдающихся учёных: Арьябхаты (V–VI вв.), Брахмагупты (VII в.) и Бхаскары II (XII в.). Главные особенности индийской математики того периода: - Создание современной десятичной позиционной системы счисления и использование нуля. - Введение в вычисления отрицательных чисел (их называли «долг», а положительные — «имущество»). - Формулировка математических задач в стихотворной форме с поэтическими образами (птицы, цветы, драгоценности). - Использование буквенных обозначений неизвестных величин (названия цветов: чёрный, синий, жёлтый и т. д.). --- #### 2. Метод обратного счёта («випарита») Для решения уравнений с одним неизвестным индийские математики разработали метод «обратного хода» (на санскрите — *випарита ганита*). Суть метода: все операции, производимые над неизвестным числом, выполняются в обратном порядке: - сложение заменяется вычитанием; - вычитание заменяется сложением; - умножение заменяется делением; - деление заменяется умножением. **Задача на метод обратного счёта:** *«Задумано число. Если его умножить на $5$, к произведению прибавить $15$, полученный результат разделить на $6$ и отнять $2$, то получится $8$. Найдите задуманное число».* **Решение методом Древней Индии (обратным ходом):** 1. В конце получилось число $8$. 2. Последней операцией было вычитание $2$. Выполняем обратное действие — прибавление: $$ 8 + 2 = 10 $$ 3. Перед этим выполнялось деление на $6$. Выполняем умножение: $$ 10 \cdot 6 = 60 $$ 4. Перед этим прибавляли $15$. Выполняем вычитание: $$ 60 - 15 = 45 $$ 5. Первой операцией было умножение на $5$. Выполняем деление: $$ 45 : 5 = 9 $$ Задуманное число равно $9$. **Решение с помощью современного линейного уравнения:** Пусть задуманное число равно $x$. Составим уравнение по условию задачи: $$ \frac{5x + 15}{6} - 2 = 8 $$ Перенесём свободный член $-2$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $$ \frac{5x + 15}{6} = 8 + 2 $$ $$ \frac{5x + 15}{6} = 10 $$ Умножим обе части уравнения на $6$: $$ 5x + 15 = 60 $$ Перенесём $15$ в правую часть: $$ 5x = 60 - 15 $$ $$ 5x = 45 $$ Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$: $$ x = 45 : 5 $$ $$ x = 9 $$ --- #### 3. Решение старинной задачи Бхаскары II (из книги «Лилавати») **Условие задачи:** *«Из букета цветков лотоса шестая часть была принесена в жертву богу Шиве, пятая часть — богу Вишну, а третья часть — Солнцу. Четвёртая часть всех цветов была отдана богине Бхавани. Оставшиеся $6$ цветков были преподнесены учителю. Сколько всего цветков лотоса было в букете?»* **Решение:** Пусть общее количество цветков лотоса в букете равно $x$. Тогда: - богу Шиве принесли $\frac{1}{6}x$ цветков; - богу Вишну — $\frac{1}{5}x$ цветков; - Солнцу — $\frac{1}{3}x$ цветков; - богине Бхавани — $\frac{1}{4}x$ цветков; - учителю осталось $6$ цветков. Сумма всех частей равна общему числу цветков. Составим уравнение: $$ \frac{1}{6}x + \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 6 = x $$ Найдём наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями $6$, $5$, $3$, $4$: $\text{НОК}(6, 5, 3, 4) = 60$. Умножим обе части уравнения на $60$: $$ 60 \cdot \left(\frac{1}{6}x + \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 6\right) = 60 \cdot x $$ $$ 10x + 12x + 20x + 15x + 360 = 60x $$ Приведём подобные слагаемые в левой части: $$ (10 + 12 + 20 + 15)x + 360 = 60x $$ $$ 57x + 360 = 60x $$ Перенесём слагаемые с переменной в одну часть, а числовые слагаемые — в другую: $$ 360 = 60x - 57x $$ $$ 3x = 360 $$ $$ x = 360 : 3 $$ $$ x = 120 $$ Всего в букете было $120$ цветков лотоса. --- #### 4. Вывод Математики Древней Индии внесли фундаментальный вклад в алгебру. Их метод обратного хода стал предшественником современных правил переноса слагаемых и выполнения действий с обеими частями уравнения при нахождении неизвестного значения. Задачи, которые древние учёные решали с помощью рассуждений и обратного счёта, в курсе алгебры 7 класса легко сводятся к линейным уравнениям с одним неизвестным.