ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень проверь себя - Глава 7

### 1. Чтобы проверить, является ли пара чисел $x = 2$ и $y = 1$ решением системы уравнений, подставим эти значения в каждое уравнение: 1) Для первого уравнения: $2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1$ — равенство верно ($1 = 1$). 2) Для второго уравнения: $5 \cdot 2 + 1 = 10 + 1 = 11$ — равенство верно ($11 = 11$). Так как оба равенства верны, пара чисел $(2; 1)$ является решением данной системы уравнений. Ответ: является. --- ### 2. **а)** Решим систему способом подстановки: $$ \begin{cases} x + y = 2, \\ 3x + 4y = 5. \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2 - y$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $3(2 - y) + 4y = 5$, $6 - 3y + 4y = 5$, $y = 5 - 6$, $y = -1$. Найдем значение $x$: $x = 2 - (-1) = 3$. Ответ: $(3; -1)$. **б)** Решим систему способом сложения (алгебраического сложения): $$ \begin{cases} 3x + 4y = -1, \\ 2x - 5y = 7. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $2$, а второе — на $3$: $$ \begin{cases} 6x + 8y = -2, \\ 6x - 15y = 21. \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $(6x - 6x) + (8y - (-15y)) = -2 - 21$, $23y = -23$, $y = -1$. Подставим $y = -1$ в первое исходное уравнение: $3x + 4 \cdot (-1) = -1$, $3x - 4 = -1$, $3x = 3$, $x = 1$. Ответ: $(1; -1)$. --- ### 3. Пусть в одном ящике содержится $x$ кг яблок и $y$ кг груш. По условию задачи масса яблок в $5$ ящиках и груш в $3$ ящиках равна $70$ кг, то есть $5x + 3y = 70$. Масса груш в $1$ ящике и яблок в $2$ ящиках равна $26$ кг, то есть $2x + y = 26$. Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 5x + 3y = 70, \\ 2x + y = 26. \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 26 - 2x$. Подставим выражение для $y$ в первое уравнение: $5x + 3(26 - 2x) = 70$, $5x + 78 - 6x = 70$, $-x = 70 - 78$, $-x = -8$, $x = 8$. Найдем $y$: $y = 26 - 2 \cdot 8 = 26 - 16 = 10$. Значит, в одном ящике содержится $8$ кг яблок и $10$ кг груш. Ответ: $8$ кг яблок, $10$ кг груш. --- ### 4. Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = ax, \\ y = -3x + 2. \end{cases} $$ Приравняем правые части уравнений: $ax = -3x + 2$, $ax + 3x = 2$, $(a + 3)x = 2$. 1) Уравнение вида $kx = b$ не имеет решений при $k = 0$ и $b \neq 0$. $a + 3 = 0 \implies a = -3$. При $a = -3$ получаем уравнение $0 \cdot x = 2$, которое не имеет решений, следовательно, и система не имеет решений. 2) Уравнение имеет единственное решение при $k \neq 0$: $a + 3 \neq 0 \implies a \neq -3$. При всех $a \neq -3$ система имеет единственное решение $x = \frac{2}{a + 3}$, $y = \frac{2a}{a + 3}$. Ответ: 1) при $a = -3$; 2) при $a \neq -3$. --- ### 5. Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 4 = 1 - \frac{9(y - 3)}{20}, \\ \frac{3y - 4}{4} = \frac{9 - x}{3} - \frac{3}{4}. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, умножив обе его части на $20$: $20(2x + 4) = 20 \cdot 1 - 9(y - 3)$, $40x + 80 = 20 - 9y + 27$, $40x + 80 = 47 - 9y$, $40x + 9y = 47 - 80$, $40x + 9y = -33$. Преобразуем второе уравнение, умножив обе его части на наименьший общий знаменатель $12$: $12 \cdot \frac{3y - 4}{4} = 12 \cdot \frac{9 - x}{3} - 12 \cdot \frac{3}{4}$, $3(3y - 4) = 4(9 - x) - 3 \cdot 3$, $9y - 12 = 36 - 4x - 9$, $9y - 12 = 27 - 4x$, $4x + 9y = 27 + 12$, $4x + 9y = 39$. Запишем полученную систему уравнений: $$ \begin{cases} 40x + 9y = -33, \\ 4x + 9y = 39. \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $(40x - 4x) + (9y - 9y) = -33 - 39$, $36x = -72$, $x = -2$. Подставим $x = -2$ в уравнение $4x + 9y = 39$: $4 \cdot (-2) + 9y = 39$, $-8 + 9y = 39$, $9y = 47$, $y = \frac{47}{9} = 5\frac{2}{9}$. Ответ: $\left(-2; 5\frac{2}{9}\right)$. --- ### 6. Пусть $x$ — цифра десятков, а $y$ — цифра единиц двузначного числа ($x \in \{1, 2, \dots, 9\}$, $y \in \{0, 1, \dots, 9\}$). Тогда данное число равно $10x + y$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $10y + x$. По условию задачи: 1) Сумма цифр равна $10$: $x + y = 10$. 2) Обращенное число на $36$ больше данного: $(10y + x) - (10x + y) = 36$, $9y - 9x = 36$, разделим обе части на $9$: $y - x = 4$. Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 10, \\ -x + y = 4. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2y = 14$, $y = 7$. Найдем $x$: $x + 7 = 10$, $x = 3$. Цифра десятков равна $3$, цифра единиц равна $7$. Искомое двузначное число — $37$. Ответ: $37$. --- ### 7. Дана система уравнений: $$ \begin{cases} ax + 3y = a, \\ (a - 2)x + y = 1. \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 1 - (a - 2)x$. Подставим полученное выражение в первое уравнение: $ax + 3(1 - (a - 2)x) = a$, $ax + 3 - 3(a - 2)x = a$, $ax + 3 - 3ax + 6x = a$, $(6 - 2a)x = a - 3$, $-2(a - 3)x = a - 3$. Линейное уравнение относительно переменной $x$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ отличен от нуля: $-2(a - 3) \neq 0 \implies a \neq 3$. При $a \neq 3$ переменные определяются однозначно ($x = \frac{a - 3}{-2(a - 3)} = -\frac{1}{2}$, $y = 1 + \frac{a - 2}{2} = \frac{a}{2}$), то есть система имеет единственное решение. Ответ: при $a \neq 3$. --- ### 8. 1) Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(0; -6)$ и $(3; 0)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Так как прямая проходит через точку $(0; -6)$, получаем: $-6 = k \cdot 0 + b \implies b = -6$. Подставим координаты точки $(3; 0)$: $0 = k \cdot 3 - 6 \implies 3k = 6 \implies k = 2$. Таким образом, уравнение данной прямой: $y = 2x - 6$. 2) Преобразуем уравнение $ax + 3y = 4$, выразив $y$: $3y = -ax + 4$, $y = -\frac{a}{3}x + \frac{4}{3}$. 3) Графики двух линейных уравнений не пересекаются тогда и только тогда, когда прямые параллельны (их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью $Oy$ различны): $-\frac{a}{3} = 2 \implies a = -6$. При $a = -6$ свободные члены $-6$ и $\frac{4}{3}$ не совпадают, следовательно, прямые параллельны и не пересекаются. Ответ: $a = -6$. --- ### 9. Пусть себестоимость партии товара, проданного в первом городе, равна $x$, а себестоимость партии товара, проданного во втором городе, равна $y$. Так как речь идет об одном и том же товаре, соотношение себестоимостей равно соотношению количеств проданного товара. Прибыль в первом городе составила $20\,\%$, то есть $0{,}2x$. Прибыль во втором городе составила $50\,\%$, то есть $0{,}5y$. Общая прибыль от продажи всего товара составила $30\,\%$ от общей себестоимости $(x + y)$, то есть $0{,}3(x + y)$. Составим уравнение: $0{,}2x + 0{,}5y = 0{,}3(x + y)$, $0{,}2x + 0{,}5y = 0{,}3x + 0{,}3y$, $0{,}5y - 0{,}3y = 0{,}3x - 0{,}2x$, $0{,}2y = 0{,}1x$. Разделим обе части на $0{,}1$: $x = 2y$, откуда $\frac{x}{y} = 2$. Значит, в первом городе товара продали больше, чем во втором, в $2$ раза. Ответ: в первом городе, в $2$ раза больше.