ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 499

**1)** $$\frac{a^{2} + ab}{a^{2} + b^{2}} \cdot \left( \frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b} \right)$$ 1. Выполним вычитание дробей в скобках. Приведём их к общему знаменателю $(a - b)(a + b)$: $$ \frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b} = \frac{a(a + b) - a(a - b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^{2} + ab - a^{2} + ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} $$ 2. Выполним умножение, предварительно вынеся общий множитель $a$ за скобки в числителе первой дроби: $$ \frac{a(a + b)}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{a(a + b) \cdot 2ab}{(a^{2} + b^{2})(a - b)(a + b)} $$ Сократим дробь на $(a + b)$: $$ \frac{2a^{2}b}{(a^{2} + b^{2})(a - b)} $$ Ответ: $\frac{2a^{2}b}{(a^{2} + b^{2})(a - b)}$. --- **2)** $$\frac{ab - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \cdot \left( \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a - b} \right)$$ 1. Выполним сложение дробей в скобках. Приведём их к общему знаменателю $(a + b)(a - b)$: $$ \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a - b} = \frac{a(a - b) + b(a + b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{a^{2} - ab + ab + b^{2}}{(a + b)(a - b)} = \frac{a^{2} + b^{2}}{(a + b)(a - b)} $$ 2. Выполним умножение, вынеся общий множитель $b$ в числителе первой дроби: $$ \frac{b(a - b)}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{(a + b)(a - b)} = \frac{b(a - b)(a^{2} + b^{2})}{(a^{2} + b^{2})(a + b)(a - b)} $$ Сократим дробь на $(a^{2} + b^{2})$ и $(a - b)$: $$ \frac{b}{a + b} $$ Ответ: $\frac{b}{a + b}$. --- **3)** $$\left( \frac{c + d}{c} - \frac{2c}{c - d} \right) \cdot \frac{d - c}{c^{2} + d^{2}}$$ 1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель равен $c(c - d)$: $$ \frac{c + d}{c} - \frac{2c}{c - d} = \frac{(c + d)(c - d) - 2c \cdot c}{c(c - d)} = \frac{c^{2} - d^{2} - 2c^{2}}{c(c - d)} = \frac{-c^{2} - d^{2}}{c(c - d)} = \frac{-(c^{2} + d^{2})}{c(c - d)} $$ 2. Выполним умножение. Заметим, что $d - c = -(c - d)$: $$ \frac{-(c^{2} + d^{2})}{c(c - d)} \cdot \frac{-(c - d)}{c^{2} + d^{2}} = \frac{(c^{2} + d^{2})(c - d)}{c(c - d)(c^{2} + d^{2})} $$ Сократим дробь на $(c^{2} + d^{2})$ и $(c - d)$: $$ \frac{1}{c} $$ Ответ: $\frac{1}{c}$. --- **4)** $$\left( \frac{2c}{c + d} + \frac{d - c}{c} \right) \cdot \frac{c + d}{c^{2} + d^{2}}$$ 1. Выполним сложение дробей в скобках. Общий знаменатель равен $c(c + d)$: $$ \frac{2c}{c + d} + \frac{d - c}{c} = \frac{2c \cdot c + (d - c)(c + d)}{c(c + d)} = \frac{2c^{2} + (d^{2} - c^{2})}{c(c + d)} = \frac{c^{2} + d^{2}}{c(c + d)} $$ 2. Выполним умножение: $$ \frac{c^{2} + d^{2}}{c(c + d)} \cdot \frac{c + d}{c^{2} + d^{2}} = \frac{(c^{2} + d^{2})(c + d)}{c(c + d)(c^{2} + d^{2})} $$ Сократим дробь на $(c^{2} + d^{2})$ и $(c + d)$: $$ \frac{1}{c} $$ Ответ: $\frac{1}{c}$.