ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 459

1) Решим уравнение: $$ \frac{(2x+1)(x+3)}{75} - \frac{(4-x)(4+x)}{25} = \frac{x(x+2)}{15} $$ Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный $75$: $$ (2x+1)(x+3) - 3(4-x)(4+x) = 5x(x+2) $$ Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(4-x)(4+x) = 16 - x^2$: $$ 2x^2 + 6x + x + 3 - 3(16 - x^2) = 5x^2 + 10x $$ $$ 2x^2 + 7x + 3 - 48 + 3x^2 = 5x^2 + 10x $$ Приведём подобные слагаемые в левой части: $$ 5x^2 + 7x - 45 = 5x^2 + 10x $$ Вычтем $5x^2$ из обеих частей уравнения и перенесём слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую: $$ 7x - 10x = 45 $$ $$ -3x = 45 $$ $$ x = \frac{45}{-3} $$ $$ x = -15 $$ Ответ: $x = -15$. --- 2) Решим уравнение: $$ \frac{x(x-1)}{7} - \frac{2(x^2+1)}{28} = \frac{(x-1)(x+2)}{14} $$ Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный $28$: $$ 4x(x-1) - 2(x^2+1) = 2(x-1)(x+2) $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 2x(x-1) - (x^2+1) = (x-1)(x+2) $$ Раскроем скобки: $$ 2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 + 2x - x - 2 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ x^2 - 2x - 1 = x^2 + x - 2 $$ Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения: $$ -2x - 1 = x - 2 $$ $$ -2x - x = -2 + 1 $$ $$ -3x = -1 $$ $$ x = \frac{1}{3} $$ Ответ: $x = \frac{1}{3}$. --- 3) Решим уравнение: $$ \frac{(2-x)(2+x)}{3} - \frac{x-x^2}{4} = \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{7x^2}{36} $$ Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный $36$: $$ 12(2-x)(2+x) - 9(x-x^2) = 4(x-1)^2 - 7x^2 $$ Применим формулы сокращённого умножения $(2-x)(2+x) = 4 - x^2$ и $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$: $$ 12(4 - x^2) - 9(x - x^2) = 4(x^2 - 2x + 1) - 7x^2 $$ Раскроем скобки: $$ 48 - 12x^2 - 9x + 9x^2 = 4x^2 - 8x + 4 - 7x^2 $$ Приведём подобные слагаемые в обеих частях уравнения: $$ -3x^2 - 9x + 48 = -3x^2 - 8x + 4 $$ Прибавим $3x^2$ к обеим частям уравнения: $$ -9x + 48 = -8x + 4 $$ $$ -9x + 8x = 4 - 48 $$ $$ -x = -44 $$ $$ x = 44 $$ Ответ: $x = 44$. --- 4) Решим уравнение: $$ \frac{(x-2)^2}{5} + \frac{2x^2-3}{15} = \frac{(x-1)(x+1)}{3} $$ Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный $15$: $$ 3(x-2)^2 + (2x^2-3) = 5(x-1)(x+1) $$ Раскроем скобки, применяя формулы сокращённого умножения $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ и $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$: $$ 3(x^2 - 4x + 4) + 2x^2 - 3 = 5(x^2 - 1) $$ $$ 3x^2 - 12x + 12 + 2x^2 - 3 = 5x^2 - 5 $$ Приведём подобные слагаемые в левой части: $$ 5x^2 - 12x + 9 = 5x^2 - 5 $$ Вычтем $5x^2$ из обеих частей уравнения: $$ -12x + 9 = -5 $$ $$ -12x = -5 - 9 $$ $$ -12x = -14 $$ $$ x = \frac{-14}{-12} $$ $$ x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} $$ Ответ: $x = 1\frac{1}{6}$.