Гдз по математике за 6 класс Виленкин, Жохов, Чесноков ответ на номер № 2.14

### Ответ **а)** * $108 = 2^2 \cdot 3^3$ * $225 = 3^2 \cdot 5^2$ * $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ * $512 = 2^9$ * $945 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$ * $1024 = 2^{10}$ **б)** * $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ * $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ * $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ * $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$ * $450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$ * $1350 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ * $4500 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3$ **в)** * $13$ — простое число (разложение: $13$) * $2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ * $1225 = 5^2 \cdot 7^2$ * $14\,014 = 2 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13$ * $90\,720 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$ --- ### Подробное объяснение Разложить составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел (чисел, которые делятся только на $1$ и на само себя: $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$). Для этого последовательно делим число на наименьшие простые делители «в столбик» с чертой. --- #### **Пункт а** * **$108$** $$\begin{array}{r|l} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$$ $108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$ * **$225$** $$\begin{array}{r|l} 225 & 3 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$$ $225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$ * **$270$** $$\begin{array}{r|l} 270 & 2 \\ 135 & 3 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$$ $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ * **$512$** Число является степенью двойки: $512 : 2 = 256$, $256 : 2 = 128$, $128 : 2 = 64$, $64 : 2 = 32$, $32 : 2 = 16$, $16 : 2 = 8$, $8 : 2 = 4$, $4 : 2 = 2$, $2 : 2 = 1$ (всего $9$ двоек). $512 = 2^9$ * **$945$** $$\begin{array}{r|l} 945 & 3 \\ 315 & 3 \\ 105 & 3 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$$ $945 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$ * **$1024$** Так как $1024 = 512 \cdot 2$, число $1024$ содержит на одну двойку больше: $1024 = 2^{10}$ --- #### **Пункт б** * **$90$** $$\begin{array}{r|l} 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$$ $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ * **$180$** Так как $180 = 90 \cdot 2$: $180 = 2 \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ * **$270$** (Разложено в пункте а): $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ * **$350$** $$\begin{array}{r|l} 350 & 2 \\ 175 & 5 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$$ $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$ * **$450$** $$\begin{array}{r|l} 450 & 2 \\ 225 & 3 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$$ $450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$ * **$1350$** Так как $1350 = 450 \cdot 3$: $1350 = 3 \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5^2) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ * **$4500$** Так как $4500 = 450 \cdot 10 = 450 \cdot (2 \cdot 5)$: $4500 = (2 \cdot 3^2 \cdot 5^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3$ --- #### **Пункт в** * **$13$** Число $13$ делится только на $1$ и на $13$, поэтому оно уже является простым: $13 = 13$ * **$2002$** $$\begin{array}{r|l} 2002 & 2 \\ 1001 & 7 \\ 143 & 11 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array}$$ $2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ * **$1225$** $$\begin{array}{r|l} 1225 & 5 \\ 245 & 5 \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$$ $1225 = 5^2 \cdot 7^2$ * **$14\,014$** Заметим, что $14\,014 = 7 \cdot 2002$: $$\begin{array}{r|l} 14\,014 & 2 \\ 7007 & 7 \\ 1001 & 7 \\ 143 & 11 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array}$$ $14\,014 = 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 2 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13$ * **$90\,720$** $$\begin{array}{r|l} 90\,720 & 2 \\ 45\,360 & 2 \\ 22\,680 & 2 \\ 11\,340 & 2 \\ 5670 & 2 \\ 2835 & 3 \\ 945 & 3 \\ 315 & 3 \\ 105 & 3 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$$ Подсчитаем количество каждого простого множителя: * Двоек: $5$ штук ($2^5 = 32$) * Троек: $4$ штуки ($3^4 = 81$) * Пятёрок: $1$ штука ($5$) * Семи: $1$ штука ($7$) $90\,720 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$