Объяснение и пошаговое решение
### Ответ
**а)** Среди первых 500 натуральных чисел расположено **24 пары** чисел-близнецов:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).
**б)** Пары чисел:
* при $n = 87$: **(521, 523)**;
* при $n = 135$: **(809, 811)**;
* при $n = 165$: **(989, 991)**.
**в)** Все пары двузначных чисел вида $6k - 1$ и $6k + 1$, не являющиеся числами-близнецами:
**(23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97)**.
---
### Объяснение и ход решения
*Числа-близнецы* — это два простых числа, разность между которыми равна 2.
#### Пункт а)
По таблице простых чисел выписываем все пары простых чисел от 1 до 500, разница между которыми равна 2:
1. $1 - 100$: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73) — 8 пар.
2. $101 - 200$: (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199) — 7 пар.
3. $201 - 300$: (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283) — 4 пары.
4. $301 - 400$: (311, 313), (347, 349) — 2 пары.
5. $401 - 500$: (419, 421), (431, 433), (461, 463) — 3 пары.
Всего: $8 + 7 + 4 + 2 + 3 = 24$ пары.
---
#### Пункт б)
Подставим заданные значения $n$ в формулы $6n - 1$ и $6n + 1$:
1. При $n = 87$:
* $6 \cdot 87 - 1 = 522 - 1 = 521$
* $6 \cdot 87 + 1 = 522 + 1 = 523$
* Получилась пара **(521, 523)**.
2. При $n = 135$:
* $6 \cdot 135 - 1 = 810 - 1 = 809$
* $6 \cdot 135 + 1 = 810 + 1 = 811$
* Получилась пара **(809, 811)**.
3. При $n = 165$:
* $6 \cdot 165 - 1 = 990 - 1 = 989$
* $6 \cdot 165 + 1 = 990 + 1 = 991$
* Получилась пара **(989, 991)**.
---
#### Пункт в)
Найдем все пары двузначных чисел вида $6k - 1$ и $6k + 1$.
Двузначные числа находятся в пределах от 10 до 99. Значит, рассматриваем натуральные $k$ от 2 до 16 ($k=1$ дает однозначное число $5$, а при $k=17$ число $6 \cdot 17 - 1 = 101$ уже трёхзначное).
Проверим каждую пару:
* $k = 2$: $11$ и $13$ — оба простые (близнецы).
* $k = 3$: $17$ и $19$ — оба простые (близнецы).
* $k = 4$: $23$ и $25$ — **не близнецы**, так как $25$ составное ($5 \cdot 5$).
* $k = 5$: $29$ и $31$ — оба простые (близнецы).
* $k = 6$: $35$ и $37$ — **не близнецы**, так как $35$ составное ($5 \cdot 7$).
* $k = 7$: $41$ и $43$ — оба простые (близнецы).
* $k = 8$: $47$ и $49$ — **не близнецы**, так как $49$ составное ($7 \cdot 7$).
* $k = 9$: $53$ и $55$ — **не близнецы**, так как $55$ составное ($5 \cdot 11$).
* $k = 10$: $59$ и $61$ — оба простые (близнецы).
* $k = 11$: $65$ и $67$ — **не близнецы**, так как $65$ составное ($5 \cdot 13$).
* $k = 12$: $71$ и $73$ — оба простые (близнецы).
* $k = 13$: $77$ и $79$ — **не близнецы**, так как $77$ составное ($7 \cdot 11$).
* $k = 14$: $83$ и $85$ — **не близнецы**, так как $85$ составное ($5 \cdot 17$).
* $k = 15$: $89$ и $91$ — **не близнецы**, так как $91$ составное ($7 \cdot 13$).
* $k = 16$: $95$ и $97$ — **не близнецы**, так как $95$ составное ($5 \cdot 19$).
Таким образом, найдено 9 пар двузначных чисел, в которых хотя бы одно из чисел является составным.
ИИ-решебник / §2 / упражнение / 2.118
