### Ответ
1. **а)** $\frac{1}{17}, \frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \frac{5}{17}, \frac{9}{17}, \frac{10}{17}, \frac{12}{17}$;
**б)** $\frac{12}{17}, \frac{10}{17}, \frac{9}{17}, \frac{5}{17}, \frac{3}{17}, \frac{2}{17}, \frac{1}{17}$.
2. **а)** $\frac{57}{13}$; **б)** $\frac{53}{25}$; **в)** $\frac{86}{17}$; **г)** $\frac{1004}{125}$.
3. **а)** $\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}$;
**б)** $\frac{5}{1}, \frac{5}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, \frac{5}{5}$;
**в)** $\frac{7}{10}$ и $\frac{13}{20}$ (или любые другие подходящие, например $\frac{10}{15}$ и $\frac{11}{15}$).
4. **а)** $622$ (остаток $19$);
**б)** $6561$ (остаток $9$).
5. **а)** $6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22$;
**б)** $7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$;
**в)** $6, 9, 12, 15, 18, 21$;
**г)** $10, 20$;
**д)** $9, 18$;
**е)** $15$.
6. **а)** $A, B, C, D, E, O$;
**б)** $F$;
**в)** $A, B, D$;
**г)** $C, E, O, F$;
**д)** $A, O, C, B$.
7. **а)** $\frac{1}{6}$ мест;
**б)** $9$ свободных мест.
---
### Объяснение и пошаговое решение
#### Задание 1
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
* **а) По возрастанию (от меньшей к большей):** сравниваем числители: $1 < 2 < 3 < 5 < 9 < 10 < 12$.
Получаем: $\frac{1}{17}, \frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \frac{5}{17}, \frac{9}{17}, \frac{10}{17}, \frac{12}{17}$.
* **б) По убыванию (от большей к меньшей):**
$\frac{12}{17}, \frac{10}{17}, \frac{9}{17}, \frac{5}{17}, \frac{3}{17}, \frac{2}{17}, \frac{1}{17}$.
---
#### Задание 2
Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и записать результат в числитель, оставив знаменатель прежним:
* **а)** $4\frac{5}{13} = \frac{4 \cdot 13 + 5}{13} = \frac{52 + 5}{13} = \frac{57}{13}$;
* **б)** $2\frac{3}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 3}{25} = \frac{50 + 3}{25} = \frac{53}{25}$;
* **в)** $5\frac{1}{17} = \frac{5 \cdot 17 + 1}{17} = \frac{85 + 1}{17} = \frac{86}{17}$;
* **г)** $8\frac{4}{125} = \frac{8 \cdot 125 + 4}{125} = \frac{1000 + 4}{125} = \frac{1004}{125}$.
---
#### Задание 3
* **а)** Дробь называется *правильной*, если её числитель меньше знаменателя ($n < 4$):
$\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}$.
* **б)** Дробь называется *неправильной*, если её числитель больше знаменателя или равен ему ($n \le 5$):
$\frac{5}{1}, \frac{5}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, \frac{5}{5}$.
* **в)** Приведём дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$ к знаменателю $10$ и $20$:
$\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = \frac{12}{20}$, а $\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = \frac{16}{20}$.
Между ними находятся, например, дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{13}{20}$.
---
#### Задание 4
Выполним деление уголком:
* **а)** $34\,851 : 56$
1. $348 : 56 = 6$ (остаток $348 - 336 = 12$).
2. Сносим $5$: $125 : 56 = 2$ (остаток $125 - 112 = 13$).
3. Сносим $1$: $131 : 56 = 2$ (остаток $131 - 112 = 19$).
**Результат:** $622$ (ост. $19$).
*Проверка:* $56 \cdot 622 + 19 = 34\,832 + 19 = 34\,851$.
* **б)** $85\,302 : 13$
1. $85 : 13 = 6$ (остаток $85 - 78 = 7$).
2. Сносим $3$: $73 : 13 = 5$ (остаток $73 - 65 = 8$).
3. Сносим $0$: $80 : 13 = 6$ (остаток $80 - 78 = 2$).
4. Сносим $2$: $22 : 13 = 1$ (остаток $22 - 13 = 9$).
**Результат:** $6561$ (ост. $9$).
*Проверка:* $13 \cdot 6561 + 9 = 85\,293 + 9 = 85\,302$.
---
#### Задание 5
Рассматриваем натуральные числа строго между $5$ и $23$:
$6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22$.
* **а) Чётные (делятся на 2):** $6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22$.
* **б) Нечётные (не делятся на 2):** $7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$.
* **в) Кратные числу 3 (делятся на 3 без остатка):** $6, 9, 12, 15, 18, 21$.
* **г) Кратные числу 10:** $10, 20$.
* **д) Кратные числу 9:** $9, 18$.
* **е) Кратные числу 5 и нечётные:** среди чисел, кратных $5$ ($10, 15, 20$), нечётным является только $15$.
---
#### Задание 6
По стандартному чертежу окружности и круга с центром $O$, диаметром $AB$ и точками $C, D, E, F$:
* **а)** В круге лежат все точки внутри и на границе (окружности): $A, B, C, D, E, O$.
* **б)** За пределами круга лежит точка $F$.
* **в)** Непосредственно на линии окружности лежат точки $A, B, D$.
* **г)** Не лежат на линии окружности точки $C, E, O, F$.
* **д)** На отрезке диаметра $AB$ лежат точки $A, O, C, B$.
---
#### Задание 7
* **а)** Всё количество мест в вагоне принимаем за единицу ($1 = \frac{6}{6}$). Если занято $\frac{5}{6}$ мест, то свободная часть равна:
$$1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$$
* **б)** Найдём $\frac{1}{6}$ от общего числа мест ($54$):
$$54 \cdot \frac{1}{6} = 54 : 6 = 9 \text{ (мест)}.$$
