ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-15. вариант - 2

1. Решите уравнение: а) $3 \cdot 3^{2x} - 28 \cdot 3^x + 9 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, причём $t > 0$. Тогда $3^{2x} = (3^x)^2 = t^2$. Получаем квадратное уравнение: $$ 3t^2 - 28t + 9 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{28 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ $$ t_2 = \frac{28 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{54}{6} = 9 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к переменной $x$: 1) $3^x = \frac{1}{3}$ $$ 3^x = 3^{-1} \implies x = -1 $$ 2) $3^x = 9$ $$ 3^x = 3^2 \implies x = 2 $$ Ответ: $-1$; $2$. б) $3 \cdot 3^{2x} - 7 \cdot 12^x + 4 \cdot 4^{2x} = 0$. Представим $12^x$ как $(3 \cdot 4)^x = 3^x \cdot 4^x$: $$ 3 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x \cdot 4^x + 4 \cdot (4^x)^2 = 0 $$ Данное уравнение является однородным показательным уравнением второй степени. Разделим обе части уравнения на $4^{2x}$ (так как $4^{2x} > 0$ при любых $x$): $$ 3 \cdot \frac{3^{2x}}{4^{2x}} - 7 \cdot \frac{3^x \cdot 4^x}{4^{2x}} + 4 \cdot \frac{4^{2x}}{4^{2x}} = 0 $$ $$ 3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 4 = 0 $$ Пусть $t = \left(\frac{3}{4}\right)^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 3t^2 - 7t + 4 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$ Оба корня положительны. Вернемся к переменной $x$: 1) $\left(\frac{3}{4}\right)^x = 1$ $$ \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^0 \implies x = 0 $$ 2) $\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{4}{3}$ $$ \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1} \implies x = -1 $$ Ответ: $-1$; $0$. --- 2. Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} 9^x \cdot 27^y = 27; \\ \frac{2^x}{4^y} = 32. \end{cases} $$ Приведем степени в первом уравнении к основанию $3$, а во втором — к основанию $2$: $$ \begin{cases} (3^2)^x \cdot (3^3)^y = 3^3; \\ \frac{2^x}{(2^2)^y} = 2^5. \end{cases} $$ Используя свойства степеней, упростим выражения: $$ \begin{cases} 3^{2x} \cdot 3^{3y} = 3^3; \\ \frac{2^x}{2^{2y}} = 2^5. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3^{2x + 3y} = 3^3; \\ 2^{x - 2y} = 2^5. \end{cases} $$ Так как основания одинаковы, приравниваем показатели степеней: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 3; \\ x - 2y = 5. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим переменную $x$: $$ x = 2y + 5 $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ 2(2y + 5) + 3y = 3 $$ $$ 4y + 10 + 3y = 3 $$ $$ 7y = 3 - 10 $$ $$ 7y = -7 $$ $$ y = -1 $$ Найдем значение $x$: $$ x = 2 \cdot (-1) + 5 = -2 + 5 = 3 $$ Решением системы является пара чисел $(3; -1)$. Найдем сумму чисел $x$ и $y$: $$ x + y = 3 + (-1) = 2 $$ Ответ: $2$.